《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

11. 计算：
(1) $20.26 × 101 - 20.26$； (2) $10.01^{2} - 10.01 × 0.02 + 0.01^{2}$.

答案：
(1) 原式$=20.26×(101 - 1)$
$=20.26×100$
$=2026$
(2) 原式$=10.01^{2}-2×10.01×0.01 + 0.01^{2}$
$=(10.01 - 0.01)^{2}$
$=10^{2}$
$=100$

12. 分解因式：
(1) $p(p + q) - 2q(p + q)$； (2) $(a^{2} + 9)^{2} - 36a^{2}$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}p(p + q) - 2q(p + q) \\=(p + q)(p - 2q)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a^{2} + 9)^{2} - 36a^{2} \\=&(a^{2} + 9)^{2} - (6a)^{2} \\=&(a^{2} + 9 + 6a)(a^{2} + 9 - 6a) \\=&(a + 3)^{2}(a - 3)^{2}\end{aligned}$

13. 已知 $a + 2b = 4$,求 $a^{2} - 4b^{2} + 16b$ 的值.

答案： 16

14. 形如 $x^{2} + (p + q)x + pq$ 的多项式,可以因式分解为 $x^{2} + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$,这种方法叫作十字相乘法.例如,具体做法是先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图),我们可以得到：$x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

(1) 利用上述的十字相乘法,分解因式：$x^{2} - 7x + 10 = $$(x - 2)(x - 5)$；
(2) 已知 $a$,$b$,$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边的长,$a^{2} + ab - 2b^{2} = 0$,且 $b^{2} + c^{2} - 6b - 10c + 34 = 0$,求 $\triangle ABC$ 的周长；
由$a^2 + ab - 2b^2 = 0$，因式分解得$(a + 2b)(a - b) = 0$，
∵ $a,b ＞ 0$，∴ $a + 2b \neq 0$，则$a = b$。
由$b^2 + c^2 - 6b - 10c + 34 = 0$，配方得$(b - 3)^2 + (c - 5)^2 = 0$，
∴ $b = 3$，$c = 5$，则$a = b = 3$。
∵ $3 + 3 ＞ 5$，$3 + 5 ＞ 3$，∴ 三边能构成三角形，
周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
(3) 求证：当 $n$ 是整数时,两个连续偶数的多项式 $(2n + 2)^{2} + 4n(2n + 2) - 3(2n)^{2}$ 能被 $4$ 整除.
$(2n + 2)^2 + 4n(2n + 2) - 3(2n)^2$
$= 4n^2 + 8n + 4 + 8n^2 + 8n - 12n^2$
$= 16n + 4$
$= 4(4n + 1)$，
∵ $n$是整数，∴ $4n + 1$是整数，
∴ 原式能被4整除。

答案：
(1) $(x - 2)(x - 5)$
(2) 由$a^2 + ab - 2b^2 = 0$，因式分解得$(a + 2b)(a - b) = 0$，
∵ $a,b ＞ 0$，
∴ $a + 2b \neq 0$，则$a = b$。
由$b^2 + c^2 - 6b - 10c + 34 = 0$，配方得$(b - 3)^2 + (c - 5)^2 = 0$，
∴ $b = 3$，$c = 5$，则$a = b = 3$。
∵ $3 + 3 ＞ 5$，$3 + 5 ＞ 3$，
∴ 三边能构成三角形，
周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
(3) $(2n + 2)^2 + 4n(2n + 2) - 3(2n)^2$
$= 4n^2 + 8n + 4 + 8n^2 + 8n - 12n^2$
$= 16n + 4$
$= 4(4n + 1)$，
∵ $n$是整数，
∴ $4n + 1$是整数，
∴ 原式能被4整除。