《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

1. 图①是1个长为$ 2m $,宽为$ 2n $的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成4块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图②中的阴影部分的面积.
(2)观察图②,写出3个代数式$ (m + n)^{2} $,$ (m - n)^{2} $,$ mn $之间的等量关系.
(3)利用(2)得到的等量关系,解决如下问题：
若$ (a + b)^{2} = 13 $,$ ab = 2 $,则$ (a - b)^{2} = $5.
]

答案：
(1)
方法一：因为大正方形边长为$m + n$，其面积为$(m + n)^{2}$，四个小长方形面积为$4mn$，所以阴影部分面积为$(m + n)^{2}-4mn$。
方法二：阴影部分小正方形边长为$m - n$，所以阴影部分面积为$(m - n)^{2}$。
(2)
由
(1)可得$(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$。
(3)
根据$(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$，将$m$、$n$换为$a$、$b$，已知$(a + b)^{2}=13$，$ab = 2$，则$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab=13 - 4×2=13 - 8 = 5$。
故答案为$5$。

2. 1个大正方形和4个全等的小正方形按图①,②两种方式摆放(图②是小正方形在大正方形内部).
(1)求图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积；(用含$ a $,$ b $的代数式表示)
(2)若把图②的4个小正方形剪掉,将剩余部分折成一个无盖长方体,求该长方体的体积.(用含$ a $,$ b $的代数式表示)
]

答案：
(1)设小正方形边长为$x$，大正方形边长为$M$。由图①得$a = M + 2x$，由图②得$M = b + 2x$。联立解得$x=\frac{a - b}{4}$，$M=\frac{a + b}{2}$。未被覆盖面积为大正方形面积减4个小正方形面积：$M^2-4x^2=\left(\frac{a + b}{2}\right)^2-4\left(\frac{a - b}{4}\right)^2=\frac{(a + b)^2-(a - b)^2}{4}=\frac{4ab}{4}=ab$。
(2)剪掉4个小正方形后，折成的无盖长方体高为$x=\frac{a - b}{4}$，底面边长为$M - 2x = b$，体积为$b\cdot b\cdot\frac{a - b}{4}=\frac{b^2(a - b)}{4}$。
(1)$ab$；
(2)$\frac{b^2(a - b)}{4}$