《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

15. 如图, $ \triangle ABC $ 是边长为 $ 6 $ 的等边三角形, $ P $ 是 $ AC $ 边上一动点,由点 $ A $ 向点 $ C $ 运动(不与点 $ A $, $ C $ 重合), $ Q $ 是 $ CB $ 延长线上一点,与点 $ P $ 同时以相同的速度由点 $ B $ 向 $ CB $ 延长线方向运动(点 $ Q $ 不与点 $ B $ 重合),过点 $ P $ 作 $ PE \perp AB $ 于点 $ E $,连接 $ PQ $ 交 $ AB $ 于点 $ D $.
(1)若设 $ AP = x $,则 $ PC = $$6 - x$, $ QC = $______$6 + x$.(用含 $ x $ 的式子表示)
(2)当 $ \angle BQD = 30^{\circ} $ 时,求 $ AP $ 的长.2
(3)在运动过程中,线段 $ DE $ 的长是否发生变化？如果不变,求出线段 $ DE $ 的长；如果变化,请说明理由.不变，3

答案：
(1) $6 - x$；$6 + x$
(2) 设 $AP = x$，则 $BQ = x$，$PC = 6 - x$。
$\triangle ABC$ 为等边三角形，$\angle ABC = 60°$，则 $\angle QBD = 180° - 60° = 120°$。
在 $\triangle QBD$ 中，$\angle BQD = 30°$，$\angle QDB = 180° - 120° - 30° = 30°$，故 $BD = BQ = x$。
过 $P$ 作 $PH // BC$ 交 $AB$ 于 $H$，则 $\triangle APH$ 为等边三角形，$AH = AP = x$，$PH = x$，$HB = 6 - x$。
$\because PH // QC$，$\therefore \triangle PHD \sim \triangle QBD$，相似比 $1:1$，故 $HD = BD = x$。
又 $AH = x$，$AB = 6$，$\therefore AH + HD + DB = x + x + x = 6$（矛盾），修正：$HB = 6 - x = HD + DB = 2BD = 2x$，即 $6 - x = 2x$，解得 $x = 2$。
$\therefore AP = 2$
(3) 不变，$DE = 3$。
由
(2) 知 $AE = \frac{x}{2}$，$HB = 6 - x = 2BD$，则 $BD = \frac{6 - x}{2}$。
$AD = AB - BD = 6 - \frac{6 - x}{2} = \frac{6 + x}{2}$，$DE = AD - AE = \frac{6 + x}{2} - \frac{x}{2} = 3$。
答案
(1) $6 - x$；$6 + x$
(2) $2$
(3) 不变，$3$