《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

13. 如图,小明有一块三角板$ABC$,其中$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,过点$C作直线l$,分别过点$A$,$B作l$的垂线,垂足是分别点$D$,$E$.
(1)求证：$\triangle ACD\cong\triangle CBE$；
(2)若$DE = 6$,求梯形$ABED$的面积.

答案：
(1)证明：
$\because AD\perp l,BE\perp l$，
$\therefore \angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle ACD = 90^{\circ}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCE+\angle ACD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$与$\triangle CBE$中，
$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle DAC=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$
$\therefore \triangle ACD\cong\triangle CBE(AAS)$。
(2)由
(1)知$\triangle ACD\cong\triangle CBE$，
$\therefore CD = BE,AD = CE$。
设$BE = x$，则$AD = 6 - x$，梯形$ABED$的高$CE=AD = 6 - x$（设高为$h$），
因为$DE = 6$，$CD=BE = x$，$DE=CD + CE$，即$6=x+(6 - x)$。
梯形$ABED$的面积$S=\dfrac{(AD + BE)× DE}{2}$，
因为$AD = CE$，$CD = BE$，$DE = 6$，
$S=\dfrac{(AD + BE)× DE}{2}=\dfrac{(CE + CD)× DE}{2}$，
又因为$CE+CD = DE = 6$，
所以$S=\dfrac{6×6}{2}=18$。
综上，答案依次为：
(1)证明过程如上述；
(2)梯形$ABED$的面积为$18$。

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 12$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边$BC上作一点D$,使得点$D到边AB$,$AC$的距离相等. (保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,过点$D作DE\perp AB于点E$.
①求证：$AE = AC$；
②若$CD = 4$,$S_{\triangle ABD} = 30$,求$BE$的长.

答案：
(1) 作图：作$\angle CAB$的角平分线，与$BC$交点即为$D$点。
(2) ① 证明：
$\because AD$平分$\angle CAB$，$DC\perp AC$，$DE\perp AB$，
$\therefore DC = DE$，
在$\triangle ACD$和$\triangle AED$中，
$\begin{cases}\angle C = \angle AED = 90^{\circ},\\\angle CAD = \angle EAD,\\AD = AD.\end{cases}$
$\therefore \triangle ACD\cong \triangle AED(AAS)$，
$\therefore AE = AC$。
② $\because DC = DE = 4$，
$S_{\triangle ABD} = 30$，
$\therefore \frac{1}{2} × AB × DE = 30$，
即$\frac{1}{2} × AB × 4 = 30$，
解得$AB = 15$，
$\therefore BE = AB - AE = 15 - 12 = 3$。