《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

6. 下列各组中的两个分式是否相等？为什么？
(1) $\frac{3m}{n}与\frac{9mn}{3n^{2}}$； (2) $\frac{2x^{2}y - xy^{2}}{x^{3}y}与\frac{2x - y}{x^{2}}$

答案：
(1)
对于$\frac{3m}{n}$与$\frac{9mn}{3n^{2}}$：
因为$\frac{9mn}{3n^{2}}=\frac{9mn÷(3n)}{3n^{2}÷(3n)}=\frac{3m}{n}$，根据分式的基本性质，分式$\frac{3m}{n}$与$\frac{9mn}{3n^{2}}$相等。
(2)
对于$\frac{2x^{2}y - xy^{2}}{x^{3}y}$与$\frac{2x - y}{x^{2}}$：
对$\frac{2x^{2}y - xy^{2}}{x^{3}y}$分子提取公因式$xy$得$\frac{xy(2x - y)}{x^{3}y}$，再约分，$\frac{xy(2x - y)}{x^{3}y}=\frac{xy(2x - y)÷(xy)}{x^{3}y÷(xy)}=\frac{2x - y}{x^{2}}$。
根据分式的基本性质，分式$\frac{2x^{2}y - xy^{2}}{x^{3}y}$与$\frac{2x - y}{x^{2}}$相等。
综上，
(1)中两个分式相等；
(2)中两个分式相等。

1. 下列分式变形正确的是(D).
A.$\frac{2 - y}{3}= -\frac{y + 2}{3}$
B.$\frac{y - 5}{x - 5}= \frac{y}{x}$
C.$\frac{2y - xy}{x^{2}-4}= \frac{y}{x + 2}$
D.$\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x + 1}= \frac{x}{x + 1}$

答案： D

2. 已知$\frac{m}{5}= \frac{m - n}{12}$,则$\frac{n}{m + n}= $$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{7}{2}$

3. 对于分式$\frac{a^{2}-b^{2}}{a - b}$的变形,
甲同学的做法是：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a - b}= \frac{(a + b)(a - b)}{a - b}= a + b$.
乙同学的做法是：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a - b}= \frac{(a^{2}-b^{2})(a + b)}{(a - b)(a + b)}= \frac{(a^{2}-b^{2})(a + b)}{(a^{2}-b^{2})}= a + b$.
请根据分式的基本性质,判断甲、乙同学的解法是否正确.

答案： 甲同学：
根据分式基本性质，$\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$，当$a - b\neq0$时，可约去分子分母的公因式$a - b$，得到$a + b$，该解法正确。
乙同学：
在$\frac{(a^{2}-b^{2})(a + b)}{(a - b)(a + b)}$这一步中，给分式的分子分母同时乘以$a + b$时，没有考虑$a + b = 0$的情况，当$a + b=0$时，分式无意义，不能随意给分式的分子分母同时乘以一个可能为$0$的式子，该解法错误。
综上，甲同学的做法正确，乙同学的做法错误。

4. 已知$\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{4}\neq0$,求$\frac{2x + 3y + 4z}{5x - 2y}$的值.

答案： 设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k(k \neq 0)$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
将$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$代入$\frac{2x + 3y + 4z}{5x - 2y}$，得：
$\begin{aligned}\frac{2(2k) + 3(3k) + 4(4k)}{5(2k) - 2(3k)}&=\frac{4k + 9k + 16k}{10k - 6k}\\&=\frac{29k}{4k}\\&=\frac{29}{4}\end{aligned}$
$\frac{29}{4}$