《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

11. 样本方差的作用是(D).
A.估计总体的平均水平
B.表示样本的平均水平
C.表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小

答案： 【解析】：
本题考查样本方差的意义。
样本方差是用来衡量样本数据与其均值之间的偏离程度的。
方差越大，说明样本数据与其均值的偏离程度越大，即数据的波动越大；
方差越小，说明样本数据与其均值的偏离程度越小，即数据的波动越小。
因此，样本方差的主要作用是表示样本的波动大小。
同时，由于样本是从总体中随机抽取的，所以样本方差可以在一定程度上反映总体的波动大小。
A选项：估计总体的平均水平通常是样本均值的作用，而不是样本方差。故A选项错误。
B选项：表示样本的平均水平同样是样本均值的作用，不是样本方差的作用。故B选项错误。
C选项：虽然方差确实可以表示数据的波动大小，但样本方差更具体地是表示样本的波动大小，并据此估计总体的波动大小。直接称其为表示总体的波动大小略显片面，因为样本方差是基于样本数据计算的。故C选项错误。
D选项：这个选项准确地描述了样本方差的作用，即表示样本的波动大小，并据此估计总体的波动大小。故D选项正确。
【答案】：
D

12. 如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数,那么新数据与原数据相比,(A).
A.平均数改变,方差不变
B.平均数改变,方差改变
C.平均数不变,方差不变
D.平均数不变,方差改变

答案： 解：设原数据为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，平均数为$\overline{x}$，方差为$s^2$，非零常数为$a$。
原平均数$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$，新数据为$x_1 - a,x_2 - a,\cdots,x_n - a$，新平均数$\overline{x}'=\frac{(x_1 - a)+(x_2 - a)+\cdots+(x_n - a)}{n}=\overline{x}-a$，故平均数改变。
原方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2+(x_2 - \overline{x})^2+\cdots+(x_n - \overline{x})^2]$，新方差$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1 - a - (\overline{x}-a))^2+\cdots+(x_n - a - (\overline{x}-a))^2]=s^2$，故方差不变。
答案：A

13. 若数据5-a,5,5+a的方差为6,则$a= $$\pm 3$.

答案： 解：首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{(5 - a) + 5 + (5 + a)}{3} = \frac{15}{3} = 5$
然后根据方差公式计算方差：
$s^2 = \frac{1}{3}[(5 - a - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (5 + a - 5)^2] = \frac{1}{3}[(-a)^2 + 0^2 + a^2] = \frac{1}{3}(a^2 + a^2) = \frac{2a^2}{3}$
已知方差为6，可得方程：
$\frac{2a^2}{3} = 6$
解方程：
$2a^2 = 18 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3$
答案：$\pm 3$

14. 小明在百科知识竞赛中,天文、历史、地理3个专题的平均成绩为85分,文学、艺术两个专题的成绩均为80分.求小明这5个专题的平均成绩.

答案： 【解析】：
本题主要考查平均数的计算。
首先，我们需要求出小明在天文、历史、地理三个专题的总成绩。
根据平均数的定义，三个专题的平均成绩是85分，所以三个专题的总成绩是 $85 × 3$ 分。
接着，我们知道小明在文学、艺术两个专题的成绩都是80分，所以这两个专题的总成绩是 $80 × 2$ 分。
最后，我们需要求出小明这五个专题的平均成绩。
根据平均数的定义，我们需要将五个专题的总成绩除以5。
【答案】：
解：
小明在天文、历史、地理三个专题的总成绩为：
$85 × 3 = 255$（分），
小明在文学、艺术两个专题的总成绩为：
$80 × 2 = 160$（分），
小明这五个专题的总成绩为：
$255 + 160 = 415$（分），
所以，小明这五个专题的平均成绩为：
$\frac{415}{5} = 83$（分）。
答：小明这5个专题的平均成绩是83分。

15. 某广告公司招聘一名广告策划人员,对3名候选人A、B、C进行3项素质测试,他们的各项测试成绩如下表所示:
(1) 如果根据3项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁被录用?
(2) 根据实际需要,如果公司将创新、综合知识和语言3项测试成绩按4:3:1的比例计算各人的总成绩,那么谁将被录用?
|测试项目|测试成绩|
||A|B|C|
|创新|72|85|67|
|综合知识|50|74|70|
|语言|88|45|67|

答案： 【解析】：本题主要考查了平均数的计算以及加权平均数的计算，通过这两种计算方式来确定录用人选。
（1）根据平均数的计算公式：平均数 = 总和÷个数，分别计算三名候选人三项测试的平均成绩。
对于候选人$A$，其三项测试成绩分别为$72$、$50$、$88$，则平均成绩为$(72 + 50 + 88)÷ 3$。
对于候选人$B$，其三项测试成绩分别为$85$、$74$、$45$，则平均成绩为$(85 + 74 + 45)÷ 3$。
对于候选人$C$，其三项测试成绩分别为$67$、$70$、$67$，则平均成绩为$(67 + 70 + 67)÷ 3$。
比较三人的平均成绩，平均成绩高的将被录用。
（2）根据加权平均数的计算公式：加权平均数 = 各数据×各自权重之和÷权重总和，这里创新、综合知识和语言三项测试成绩按$4:3:1$的比例计算总成绩，即权重分别为$4$、$3$、$1$，权重总和为$4 + 3 + 1 = 8$。
分别计算三名候选人的加权总成绩：
候选人$A$的加权总成绩为$(72× 4 + 50× 3 + 88× 1)÷ 8$。
候选人$B$的加权总成绩为$(85× 4 + 74× 3 + 45× 1)÷ 8$。
候选人$C$的加权总成绩为$(67× 4 + 70× 3 + 67× 1)÷ 8$。
比较三人的加权总成绩，加权总成绩高的将被录用。
【答案】：
(1)解：
$A$的平均成绩为$(72 + 50 + 88)÷ 3 = 70$（分）；
$B$的平均成绩为$(85 + 74 + 45)÷ 3 = 68$（分）；
$C$的平均成绩为$(67 + 70 + 67)÷ 3 = 68$（分）。
因为$70\gt 68$，所以$A$被录用。
(2)解：
$A$的总成绩为$(72× 4 + 50× 3 + 88× 1)÷ 8 = 65.75$（分）；
$B$的总成绩为$(85× 4 + 74× 3 + 45× 1)÷ 8 = 75.875$（分）；
$C$的总成绩为$(67× 4 + 70× 3 + 67× 1)÷ 8 = 68.125$（分）。
因为$75.875\gt 68.125\gt 65.75$，所以$B$被录用。