《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

6. 若$x^{2}+(a-1)x+1$是一个完全平方式,则常数$a= \underline{\quad\quad}$.
解：因为$x^{2}+(a - 1)x + 1$是完全平方式，所以$x^{2}+(a - 1)x + 1=(x\pm1)^{2}$。
当$x^{2}+(a - 1)x + 1=(x + 1)^{2}=x^{2}+2x + 1$时，$a - 1=2$，解得$a=3$；
当$x^{2}+(a - 1)x + 1=(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$时，$a - 1=-2$，解得$a=-1$。
综上，$a=3$或$a=-1$。
3或-1

答案： 解：因为$x^{2}+(a - 1)x + 1$是完全平方式，所以$x^{2}+(a - 1)x + 1=(x\pm1)^{2}$。
当$x^{2}+(a - 1)x + 1=(x + 1)^{2}=x^{2}+2x + 1$时，$a - 1=2$，解得$a=3$；
当$x^{2}+(a - 1)x + 1=(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$时，$a - 1=-2$，解得$a=-1$。
综上，$a=3$或$a=-1$。
$3$或$-1$

7. 用配方法解方程$2x^{2}-\frac{4}{3}x-2= 0$时,应把它先变形为(D).
A.$(x+\frac{1}{3})^{2}= \frac{8}{9}$
B.$(x-\frac{2}{3})^{2}= 0$
C.$(x-\frac{1}{3})^{2}= \frac{8}{9}$
D.$(x-\frac{1}{3})^{2}= \frac{10}{9}$

答案： 解：$2x^{2}-\frac{4}{3}x-2= 0$
两边同除以2：$x^{2}-\frac{2}{3}x-1=0$
移项：$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$
配方：$x^{2}-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}=1+(\frac{1}{3})^{2}$
即$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{10}{9}$
D

8. 用配方法解下列方程：
(1)$-2x^{2}+4x+1= 0$；
(2)$3x^{2}-5x= 2$；
(3)$9y^{2}-16y-4= 0$；
(4)$\frac{1}{2}t^{2}+3t= 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用配方法解一元二次方程。
配方法的一般步骤为：
1. 将二次项系数化为1；
2. 移项，使方程左边只含二次项和一次项，右边为常数项；
3. 在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；
4. 将方程左边写成完全平方的形式；
5. 利用平方根的定义解方程。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $-2x^{2}+4x+1= 0$，
移项得 $-2x^{2}+4x = -1$，
两边同时除以-2得 $x^{2}-2x = \frac{1}{2}$，
配方得 $x^{2}-2x+1 = \frac{1}{2}+1$，
即 $(x-1)^{2} = \frac{3}{2}$，
开方得 $x-1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得 $x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
(2) 解：
原方程为 $3x^{2}-5x= 2$，
移项得 $3x^{2}-5x-2 = 0$，
两边同时除以3得 $x^{2}-\frac{5}{3}x = \frac{2}{3}$，
配方得 $x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} = \frac{2}{3}+\frac{25}{36}$，
即 $(x-\frac{5}{6})^{2} = \frac{49}{36}$，
开方得 $x-\frac{5}{6} = \pm \frac{7}{6}$，
解得 $x_{1} = 2$，$x_{2} = -\frac{1}{3}$。
(3) 解：
原方程为 $9y^{2}-16y-4= 0$，
移项得 $9y^{2}-16y = 4$，
两边同时除以9得 $y^{2}-\frac{16}{9}y = \frac{4}{9}$，
配方得 $y^{2}-\frac{16}{9}y+\frac{64}{81} = \frac{4}{9}+\frac{64}{81}$，
即 $(y-\frac{8}{9})^{2} = \frac{100}{81}$，
开方得 $y-\frac{8}{9} = \pm \frac{10}{9}$，
解得 $y_{1} = 2$，$y_{2} = -\frac{2}{9}$。
(4) 解：
原方程为 $\frac{1}{2}t^{2}+3t= 1$，
移项得 $\frac{1}{2}t^{2}+3t-1 = 0$，
两边同时乘以2得 $t^{2}+6t = 2$，
配方得 $t^{2}+6t+9 = 2+9$，
即 $(t+3)^{2} = 11$，
开方得 $t+3 = \pm \sqrt{11}$，
解得 $t_{1} = -3 + \sqrt{11}$，$t_{2} = -3 - \sqrt{11}$。

9. 解下列方程：
(1)$x(2x+3)= 4x+6$；
(2)$x^{2}+2mx= n(n+m^{2}\geq0)$.

答案：
(1)解：$x(2x + 3) = 4x + 6$
移项得$x(2x + 3) - 4x - 6 = 0$
变形得$x(2x + 3) - 2(2x + 3) = 0$
因式分解得$(2x + 3)(x - 2) = 0$
则$2x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$
解得$x_1 = -\frac{3}{2}$，$x_2 = 2$
(2)解：$x^2 + 2mx = n$
配方得$x^2 + 2mx + m^2 = n + m^2$
即$(x + m)^2 = n + m^2$
因为$n + m^2 \geq 0$
开方得$x + m = \pm\sqrt{n + m^2}$
解得$x_1 = -m + \sqrt{n + m^2}$，$x_2 = -m - \sqrt{n + m^2}$

10. 对于任意实数$x$,① $\because x^{2}\geq0,\therefore x^{2}+1＞0$；② $\because (x-\frac{1}{3})^{2}\geq0,\therefore (x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{2}＞0$.
模仿上述方法解答：
求证：(1)对于任意实数$x$,$2x^{2}+4x+3＞0$恒成立；
(2)对于任意实数$x$,代数式$3x^{2}-5x-1的值总大于代数式2x^{2}-4x-7$的值.

答案：
(1)证明：$2x^{2}+4x+3=2(x^{2}+2x)+3=2(x^{2}+2x+1-1)+3=2(x+1)^{2}-2+3=2(x+1)^{2}+1$，
$\because (x+1)^{2}\geq0$，
$\therefore 2(x+1)^{2}\geq0$，
$\therefore 2(x+1)^{2}+1\geq1＞0$，
即对于任意实数$x$，$2x^{2}+4x+3＞0$恒成立.
(2)证明：$(3x^{2}-5x-1)-(2x^{2}-4x-7)=3x^{2}-5x-1-2x^{2}+4x+7=x^{2}-x+6$，
$x^{2}-x+6=x^{2}-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+6=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{23}{4}$，
$\because (x-\frac{1}{2})^{2}\geq0$，
$\therefore (x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{23}{4}\geq\frac{23}{4}＞0$，
即$(3x^{2}-5x-1)-(2x^{2}-4x-7)＞0$，
$\therefore$对于任意实数$x$，代数式$3x^{2}-5x-1$的值总大于代数式$2x^{2}-4x-7$的值.

11. 用配方法证明：对于任意实数$m$、$n$,代数式$m^{2}+10n^{2}-6mn-8n+20$的值不小于4.

答案： 【解析】：
本题主要考查了配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方的形式，再利用完全平方的非负性来证明原式的值不小于4。
首先，我们将原式$m^{2}+10n^{2}-6mn-8n+20$进行配方，将其化为几个完全平方的和的形式，然后利用完全平方的非负性来求解。
【答案】：
解：
原式$=m^{2}-6mn + 9n^{2}+n^{2}-8n + 16 + 4$
$=(m - 3n)^{2}+(n - 4)^{2}+4$，
因为$(m - 3n)^{2}\geq0$，$(n - 4)^{2}\geq0$，
所以$(m - 3n)^{2}+(n - 4)^{2}+4\geq4$，
即对于任意实数$m$、$n$，代数式$m^{2}+10n^{2}-6mn-8n + 20$的值不小于$4$。