《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

7. 如图分别是⊙O的内接正三角形ABC、内接正四边形ABCD、内接正五边形ABCDE、…、内接正n边形ABCDE……点M、N分别从点B、C开始,以相同的速度在⊙O上按逆时针方向运动,AM、BN相交于点P.
(1)图①中,∠APN=60°；
(2)图②中,∠APN=90°；
(3)图③中,∠APN=108°；
(4)试探究∠APN的度数与正n边形的边数的关系(直接写出答案)：$ 180°-\frac {360°}{n}$.

答案： 60
90
108
$ 180°-\frac {360°}{n}$

8. 图①、图②分别是两个相同的正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点与另一个正多边形的中心O重合.
(1)在图①中,求重叠部分面积与阴影部分面积之比；
(2)在图②中,求重叠部分面积与阴影部分面积之比.

(第8题)

答案：

(1)解：连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M，如图所示：

∵点O是正方形ABCD外接圆圆心
∴OA=OB
∵四边形ABCD是正方形
∴$OM=\frac {1}{2}AB$
∴$S_{△ABO}=\frac {1}{4}S_{正方形ABCD}$
∵∠AOB=90°
∴∠OAF=∠OBE=45°
又
∵∠A′OC′=90°，∠AOF+∠A′OB=∠A′OB+∠BOE=90°，
∴∠AOF=∠BOE
∴△AOF≌△BOE
∴S_{△AOF}=S_{△BOE}
∴重叠部分面积
=S_{△BOF}+S_{△BOE}=S_{△BOF}+S_{△AOF}
=S_{△ABO}
$=\frac {1}{4}S_{正方形ABCD}$
∴$S_{阴影}=\frac {3}{4}S_{正方形ABCD}$
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3
(2)解：连接OA、OB、OC，设OA′与AB交于
点G，OE′与CD交于点H
由正六边形的性质可得∠AOA′=∠COE′，AO=OC，∠OAA′=∠OCE′
∴△AOG≌△COE′
∴S_{△AOG}=S_{△COE′}
∴重叠部分的面积$=S△_{A′BCO}+S_{△OCE′}=S_{△A′BCO}+S_{△AOG}=S_{四边形OABC}=\frac {1}{3}S_{六边形ABCDEF}$
∴$S_{阴影}=\frac {2}{3}S_{六边形ABCDEF}$
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：2

9. 如图,正方形ABCD的边长为1,中心为O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转,并在旋转过程中,正六边形EFGHIJ始终在正方形ABCD内(包括正方形的边).当正六边形EFGHIJ的边长最大时,求AE的最小值.
]

答案：
解：如图所示，当EH=AB时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，
此时正六边形的边长最大，
再当EH与正方形对角线AC重合时，AE最小.
因为正方形ABCD的边长为1，∠ABC=90°，
所以$AC= \sqrt{2}.$
因为EH=1，
所以$AE=CH= \frac {\sqrt{2}-1}{2}，$
所以当正六边形EFGHIJ的边长最大时，AE的最小值为$ \frac {\sqrt{2}-1}{2}.$