《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

1. 若圆的一条弦长恰好等于圆半径,则该弦所对的圆周角等于30°或150°.

答案： 解：弦长等于半径，弦与半径构成等边三角形，圆心角为60°。
圆周角等于圆心角一半，优弧所对圆周角为(360°-60°)/2=150°。
该弦所对的圆周角等于30°或150°。

2. 如图,⊙O的直径为10,弦AB为8,P为弦AB上的一点. 若OP的长为整数,则满足条件的点P有5个.

答案： 【解析】：
本题考查圆的弦的性质。
已知⊙O的直径为10，弦AB的长度为8。
过圆心O作弦AB的垂线，垂足为M，
根据垂径定理可得$AM=BM=\frac{1}{2}AB=4$，
在$Rt \bigtriangleup OAM$中，$OA=\frac{1}{2}×10=5$，
根据勾股定理可得，
弦心距$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
所以，$OP$的最小值为3。
当$P$与$A$或$B$重合时，$OP$取得最大值，且这个最大值为圆的半径5。
由于$OP$的长为整数，且$3\leq OP\leq5$，
那么$OP$的可能取值为3，4，5。
当$OP=3$时，P点只有一个位置，即弦AB的中点M，此时$OP$为弦心距；
当$OP=4$时，由于圆的对称性，P点有两个位置，分别位于弦AB的中点M的两侧；
当$OP=5$时，P点也有两个位置，即弦AB的两个端点A和B。
因此，满足条件的点P共有$1+2+2=5$个。
【答案】：
5。

3. 若三角形的三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm,则它的外接圆半径为2.5cm,内切圆半径为1cm.

答案： 解：
∵ $3^2 + 4^2 = 5^2$，
∴ 该三角形为直角三角形，斜边长为5 cm。
外接圆半径：
直角三角形外接圆半径 $R = \frac{斜边}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ cm。
内切圆半径：
设内切圆半径为 $r$，
由面积法：$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × (3 + 4 + 5) × r$，
解得 $r = 1$ cm。
2.5，1

4. 如图,已知PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,PA= 6,BP= 4,⊙O的半径为______.

2.5

答案： 【解析】：本题可根据切线的性质以及勾股定理来求解圆的半径。
因为$PA$切$\odot O$于点$A$，根据切线的性质可知$OA\perp PA$，即$\triangle OAP$是直角三角形。
设$\odot O$的半径为$r$，已知$PA = 6$，$BP = 4$，则$OP=OB + BP=r + 4$。
在$Rt\triangle OAP$中，根据勾股定理$OA^{2}+PA^{2}=OP^{2}$，将$OA = r$，$PA = 6$，$OP=r + 4$代入可得：
$r^{2}+6^{2}=(r + 4)^{2}$
展开式子求解$r$的值。
【答案】：解：设$\odot O$的半径为$r$。
∵$PA$切$\odot O$于点$A$，
∴$OA\perp PA$。
在$Rt\triangle OAP$中，$OA = r$，$PA = 6$，$OP=OB + BP=r + 4$。
由勾股定理可得$r^{2}+6^{2}=(r + 4)^{2}$，
即$r^{2}+36=r^{2}+8r + 16$，
移项可得$8r=36 - 16$，
$8r = 20$，
解得$r = 2.5$。
故答案为$2.5$。

5. 已知等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的⊙O,底边BC= 8 cm,则S△ABC= 32cm²或8cm².

答案： 解：分两种情况：
情况一：圆心O在△ABC内部。
连接OB、OC，作OD⊥BC于D。
∵OD⊥BC，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm。
在Rt△OBD中，OB=5cm，BD=4cm，
由勾股定理得OD=√(OB²-BD²)=√(5²-4²)=3cm。
∴AD=AO+OD=5+3=8cm。
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×8×8=32cm²。
情况二：圆心O在△ABC外部。
同理，OD=3cm，
AD=AO-OD=5-3=2cm。
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×8×2=8cm²。
综上，S△ABC=32cm²或8cm²。

6. 如图,已知⊙O以数轴的原点O为圆心,半径为1,∠AOB= 45°,点P在数轴上运动. 若点P对应的实数为x,过点P且与OA平行的直线与⊙O没有公共点,则x的取值范围是x＞√2或x＜-√2.

答案： 解：过点O作OA的垂线，交OA于点C，OA的平行线与数轴交于点P，点P对应的实数为x。
因为OA与过点P的直线平行，∠AOB=45°，所以过点P的直线与x轴夹角为45°，其方程为y = x - a（a为常数）。
圆心O到该直线的距离d = |0 - 0 - a| / √(1² + (-1)²) = |a| / √2。
直线与⊙O没有公共点，所以d ＞ 1，即|a| / √2 ＞ 1，|a| ＞ √2，a ＞ √2或a ＜ -√2。
又因为点P在数轴上，对应的实数为x = a，所以x的取值范围是x ＞ √2或x ＜ -√2。
x ＞ √2或x ＜ -√2

7. 如图,残破的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交⌒AB于点C,交弦AB于点D,AB= 24,CD= 8.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)(1)中所作圆的半径等于13.

答案： 【解析】：
(1) 由于需要找到残片所在的圆，我们可以在$AB$的垂直平分线上，即在$CD$的延长线上任意取一点$O$作为圆心，这一点必然是残片所在圆的圆心，因为$O$在$AB$的垂直平分线上，所以$OA = OB$，以$O$为圆心，$OA$为半径作圆即可。作图痕迹应保留从$A$到$O$和从$B$到$O$的线段以及最后的圆弧。

(2) 题目已知$AB = 24$，则$AD = \frac{AB}{2} = 12$，设圆的半径为$r$，在直角三角形$ADO$中，根据勾股定理，有$r^{2} = (r - 8)^{2} + 12^{2}$（因为$CD = 8$，所以圆心到弦$AB$的距离是$r - 8$），展开并整理这个方程，得到$r^{2} = r^{2} - 16r + 64 + 144$，进一步整理，得到$16r = 208$，解得$r = 13$，即所作圆的半径为13。
【答案】：
(1) 图略；
(2) 13