《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

例1 (1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.
当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图①,|AB|= |OB|= |b|= |a-b|.
当A、B两点都不在原点时：

如图②,点A、B都在原点的右边,|AB|= |OB|-|OA|= |b|-|a|= b-a= |a-b|；
如图③,点A、B都在原点的左边,|AB|= |OB|-|OA|= |b|-|a|= b-a= |a-b|；
如图④,点A、B在原点的两边,|AB|= |OB|+|OA|= |b|+|a|= -b+a= |a-b|.
综上,数轴上A、B两点之间的距离|AB|= |a-b|.
(2)回答下列问题：
① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
② 数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是______,如果|AB|= 2,那么x为______；
③ 当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,相应的x的取值范围是______.
解:① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|= 3,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-(-5)|= 3,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|= 4.
② 数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是|x-(-1)|= |x+1|,如果|AB|= 2,那么x为1或-3.
③ 当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,∴x+1≥0,x-2≤0,∴-1≤x≤2.
分析:此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.

答案： 【解析】：
① 对于数轴上表示2和5的两点，使用公式$|AB| = |a-b|$，代入$a=2, b=5$，得到距离为$|2-5| = 3$。
对于数轴上表示-2和-5的两点，同样使用公式，代入$a=-2, b=-5$，得到距离为$|-2-(-5)| = |-2+5| = 3$。
对于数轴上表示1和-3的两点，代入$a=1, b=-3$，得到距离为$|1-(-3)| = |1+3| = 4$。
② 对于数轴上表示x和-1的两点A和B，距离表示为$|x-(-1)| = |x+1|$。
如果$|AB| = 2$，则$|x+1| = 2$，解这个绝对值方程，我们得到两个$x+1 = 2$ 或 $x+1 = -2$，解得$x = 1$ 或 $x = -3$。
③ 对于代数式$|x+1|+|x-2|$，需要找到使这个代数式取最小值的x的取值范围。
考虑数轴上表示x的点，它到表示-1的点和表示2的点的距离之和就是$|x+1|+|x-2|$。
为了使这个距离和最小，x应该位于-1和2之间（包括-1和2），这样x到-1和2的距离都是最短的。
因此，x的取值范围是$-1 \leq x \leq 2$。
【答案】：
① 3；3；4
② $|x+1|$；$1$或$-3$
③ $-1 \leq x \leq 2$