《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

练习
1. 若点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)在反比例函数$y= \frac{3}{x}$的图像上,且$x₁＜x₂＜0＜x₃$,则y₁、y₂、y₃的大小关系是(A).
$A.y_3＞y_1＞y_2$
$B.y_1＞y_2＞y_3$
$C.y_2＞y_1＞y_3$
$D.y_3＞y_2＞y_1$

答案： 解：
∵反比例函数$y=\frac{3}{x}$中，$k=3＞0$，
∴函数图像在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$在该函数图像上，且$x_1＜x_2＜0＜x_3$，
∴点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限。
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，$y_3＞0$。
∵在第三象限内，$y$随$x$的增大而减小，且$x_1＜x_2$，
∴$y_1＞y_2$。
综上，$y_3＞y_1＞y_2$。
答案：A

2. 已知函数$y= \frac{1}{x}$的图像如图所示. 当$x≥-1$时,y的取值范围是(C).

A.y≤-1
B.y≤-1和y≥0
C.y≤-1和y＞0
D.y＜-1和y≥0

答案： 【解析】：本题考查数形结合思想，需要根据给定的$x$的取值范围，结合反比例函数$y = \frac{1}{x}$的图像来确定$y$的取值范围。
已知函数$y = \frac{1}{x}$，这是一个反比例函数，其图像在第一、三象限。
当$x\geq - 1$时，分两种情况讨论：
当$-1\leq x\lt 0$时：
对于反比例函数$y = \frac{1}{x}$，此时$y=\frac{1}{-1\leq x\lt 0}$，根据反比例函数的性质，当$x$为负数且绝对值越来越小时，$y$的值会越来越小且为负数。
当$x = - 1$时，$y=\frac{1}{-1}=-1$，所以当$-1\lt x\lt 0$时，$y\lt - 1$，结合$x = - 1$时$y = - 1$，可得当$-1\leq x\lt 0$时，$y\leq - 1$。
当$x\gt 0$时：
对于反比例函数$y = \frac{1}{x}$，此时$y=\frac{1}{x\gt 0}$，根据反比例函数的性质，当$x$为正数且越来越大时，$y$的值会越来越小且为正数，但始终大于$0$，即$y\gt 0$。
综合以上两种情况，当$x\geq - 1$时，$y$的取值范围是$y\leq - 1$和$y\gt 0$。
【答案】：C。

3. 如图,一次函数$y= kx+b$的图像经过点A(-1,-2)和点B(-2,0),正比例函数$y= 2x$的图像经过点A. 则不等式$2x＜kx+b＜0$的解集为(B).

A.x＜-2
B.-2＜x＜-1
C.-2＜x＜0
D.-1＜x＜0

答案： 【解析】：本题可根据一次函数与正比例函数的图像性质，结合不等式$2x＜kx + b＜0$，通过分析函数图像的位置关系来求解不等式的解集。
步骤一：分析$2x＜kx + b$的解集
$2x＜kx + b$表示正比例函数$y = 2x$的图像在一次函数$y = kx + b$图像的下方。
已知正比例函数$y = 2x$的图像经过点$A(-1,-2)$，一次函数$y = kx + b$的图像经过点$A(-1,-2)$和点$B(-2,0)$。
从图像上看，当$x＜ -1$时，正比例函数$y = 2x$的图像在一次函数$y = kx + b$图像的下方，所以$2x＜kx + b$的解集为$x＜ -1$。
步骤二：分析$kx + b＜0$的解集
$kx + b＜0$表示一次函数$y = kx + b$的图像在$x$轴下方。
因为一次函数$y = kx + b$的图像经过点$B(-2,0)$，从图像上看，当$x＞ -2$时，一次函数$y = kx + b$的图像在$x$轴下方，所以$kx + b＜0$的解集为$x＞ -2$。
步骤三：求不等式$2x＜kx + b＜0$的解集
综合以上两个不等式的解集，取它们的交集，即同时满足$2x＜kx + b$和$kx + b＜0$的$x$的取值范围。
所以不等式$2x＜kx + b＜0$的解集为$-2＜x＜ -1$。
【答案】：B

4. 在数学活动中,小明为了求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}$的值(结果用n表示),设计了如图①的几何图形. 于是,有$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}= $______. 请你利用图②,再设计一个能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}$的值的几何图形.

答案： 解：$1 - \frac{1}{2^n}$
设计几何图形如下：
将图②的正方形看作单位“1”。
第一次将正方形沿水平方向平均分成2份，取其中一份为$\frac{1}{2}$；
第二次将剩余的$\frac{1}{2}$部分沿垂直方向平均分成2份，取其中一份为$\frac{1}{2^2}$；
第三次将剩余的$\frac{1}{2^2}$部分沿水平方向平均分成2份，取其中一份为$\frac{1}{2^3}$；
以此类推，经过n次分割后，所取各部分面积之和即为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}$，此时剩余部分面积为$\frac{1}{2^n}$，所以所求和为$1 - \frac{1}{2^n}$。