《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

7. 如图,点A、B、C、D在圆上,AB＝8,BC＝6,AC＝10,CD＝4,则AD＝$ 2\sqrt{21}$.

答案： $ 2\sqrt{21}$

8. 如图,AB为⊙O的直径,∠ABC＝40°,AD平分∠BAC,则∠ABD＝65°.

答案： 65°

9. 如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,圆心O在AD上,OC//AB.
(1)试说明:DC＝BC.
(2)已知AC＝12,AD∶BC＝3∶1,求⊙O的半径.

答案：
(1)证明：因为OC//AB
所以∠OCA=∠CAB
因为OA=OC
所以∠OAC=∠OCA
所以∠OAC=∠CAB
即AC平分∠DAB
所以$ {\widehat{DC }}= {\widehat{BC }}$
所以DC=BC
(2)解：
(2)由
(1)知 DC=BC
因为AD是⊙O的直径
所以∠ACD=90°
因为AC=12，AD：BC=3：1
所以在Rt△ACD中，$AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}\ $
所以$AD= \sqrt{1{2}^2+\frac {1}{9}A{D}^2} $
解得，$AD= 9\sqrt{2} $
所以⊙O的半径是$ \frac {1}{2}AD= \frac {9\sqrt{2}}{2} $
(1)证明：因为OC//AB
所以∠OCA=∠CAB
因为OA=OC
所以∠OAC=∠OCA
所以∠OAC=∠CAB
即AC平分∠DAB
所以$ {\widehat{DC }}= {\widehat{BC }}$
所以DC=BC
(2)解：
(2)由
(1)知 DC=BC
因为AD是⊙O的直径
所以∠ACD=90°
因为AC=12，AD：BC=3：1
所以在Rt△ACD中，$AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}\ $
所以$AD= \sqrt{1{2}^2+\frac {1}{9}A{D}^2} $
解得，$AD= 9\sqrt{2} $
所以⊙O的半径是$ \frac {1}{2}AD= \frac {9\sqrt{2}}{2} $

10. 如图,⊙C经过坐标原点O,并与两坐标轴分别交于点A、D,∠OBA＝45°,点D的坐标为(0,2).求点A、C的坐标.

答案：
解：连接A D
$\because \angle D O A=90^{\circ}$
$\therefore A D $为直径
即点 C 在线段 A D 上
由圆周角定理， 得：$ \angle O D A=\angle O B A=45^{\circ}$
$\therefore \triangle A O D $是等腰直角三角形
在$ Rt \triangle A O D $中
$\because O D=2$
$\therefore O A=2$
即点 A 坐标为 (2，0)
$\therefore A D=\sqrt{O A^2+O D^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2 \sqrt{2}$
$\therefore $圆的半径为：$ \frac {1}{2} \times A D=\frac {2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$\because $点 C 为 A D 的中点
$\therefore $圆心 C 的坐标为 (1，1)
综上所述， A(2，0)， C(1，1)\

11. 如图,⊙O的半径为√5,△ABC内接于⊙O,且AB＝AC＝4,BD为⊙O的直径.求四边形ABCD的面积.

答案：
11.解：连接AO并延长交BC于E
连接OC，则OB=OC
又
∵AB=AC
∴直线AO垂直平分BC
设OE=x，则$AE=OA+OE=x+\sqrt{5}$
在Rt△OBE中
BE^{2}=OB^{2}-OE^{2}
$=(\sqrt{5})^{2}-x^{2}=5-x^{2}$
在Rt△ABE中
BE^{2}=AB^{2}-AE^{2}
$=4^{2}-(x+\sqrt{5})^{2}$
∴$5-x^{2}=4^{2}-(x+\sqrt{5})^{2}$
$=16-(x^{2}+2\sqrt{5}x+5)$
$=16-x^{2}-2\sqrt{5}x-5$
$2\sqrt{5}x=6$
$x=\frac{3}{5}\sqrt{5}$
$BE^{2}=5-(\frac35\sqrt{5})^{2}$
$=5-\frac95$
$=\frac{16}{5}$
$BE=\frac45\sqrt{5}($负值舍去)
$BC=2BE=2×\frac45\sqrt{5}=\frac85\sqrt{5}$
∵BD是直径
∴$BD=2\sqrt{5}$
∠BAD=∠BCD=90°
∴$AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}$
$=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-4^{2}}$
$=\sqrt{4}$
=2
$CD=\sqrt{BD^{2}-BC^{2}}$
$=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-(\frac85\sqrt{5})^{2}}$
$=\frac65\sqrt{5}$
∴S_{四边形ABCD}=S_{△BAD}+S_{△BCD}
$=\frac12AB\cdot AD+\frac12BC\cdot CD$
$=\frac12×4×2+\frac12×\frac85\sqrt{5}×\frac65\sqrt{5}$
$=4+\frac{24}{5}$
=8.8

12. 如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,且AC＝12 cm,BC＝16 cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D.求AD的长.

答案：
解：连接BD
因为AB是圆O的直径
所以∠ADB=∠ACB=90°
在Rt△ACB中，$AB= \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=20(\ \mathrm {cm})$
因为CD平分∠ACB
所以∠1=∠2
所以$ {\widehat{AD }}= {\widehat{BD }}$
所以AD=BD
在Rt△ABD中
因为AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}
所以$AD=BD= \frac {\sqrt{2}}{2}AB= 10\sqrt{2}(\ \mathrm {cm})$