《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

例2 已知a、b为正数,且a+b= 2,求$\sqrt{4+a^2}+\sqrt{1+b^2}$的最小值.
点评:此题由式子特点联想勾股定理,构造图形解决问题.
解:如图①,作线段AB= 2,在AB上取点P,设AP= a,则BP= b. 作AC⊥AB,且取AC= 2,作BD⊥AB,且取BD= 1. 由勾股定理,得$PC= \sqrt{4+a^2}$,$PD= \sqrt{1+b^2}$. 当点P与点C、D在同一直线上时,PC+PD的值最小,即为线段CD的长.
如图②,作AB= 2,AC⊥AB、BD⊥AB,且取AC= 2、BD= 1,作DE//BA交CA的延长线于点E. 在Rt△CDE中,CE= CA+AE= 2+1= 3,DE= AB= 2,$CD= \sqrt{CE^2+DE^2}= \sqrt{3^2+2^2}= \sqrt{13}$,即$\sqrt{4+a^2}+\sqrt{1+b^2}的最小值是\sqrt{13}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了勾股定理以及数形结合的数学思想。
首先，根据题目条件，已知$a+b=2$，且$a$、$b$为正数。
接着，为了求解$\sqrt{4+a^2}+\sqrt{1+b^2}$的最小值，可以构造一个图形，其中线段$AB$的长度为2，$AP$的长度为$a$，$BP$的长度为$b$。
然后，分别作$AC$垂直于$AB$且长度为2，$BD$垂直于$AB$且长度为1。
根据勾股定理，可以计算出$PC$和$PD$的长度，分别为$\sqrt{4+a^2}$和$\sqrt{1+b^2}$。
当点$P$与点$C$、$D$在同一直线上时，$PC+PD$的值最小，即等于线段$CD$的长度。
为了求出$CD$的长度，可以再构造一个与图形相关的直角三角形。
作$DE$平行于$BA$交$CA$的延长线于点$E$，这样$DE$的长度就等于$AB$的长度，即2；
$CE$的长度等于$CA$与$AE$的和，即3。
最后，利用勾股定理求出$CD$的长度，即$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
所以，$\sqrt{4+a^2}+\sqrt{1+b^2}$的最小值为$\sqrt{13}$。
【答案】：
$\sqrt{13}$。

5. 若关于x的不等式组$\begin{cases}2x＜3(x-3)+1 \\ \frac{3x+2}{4}＞x+a\end{cases} $有4个整数解,则a的取值范围是$-\frac{11}{4} \leq a ＜ -\frac{5}{2}$.

答案： 解：解不等式$2x ＜ 3(x - 3) + 1$，得$x ＞ 8$。
解不等式$\frac{3x + 2}{4} ＞ x + a$，得$x ＜ 2 - 4a$。
所以不等式组的解集为$8 ＜ x ＜ 2 - 4a$。
因为不等式组有4个整数解，即9，10，11，12，所以$12 ＜ 2 - 4a \leq 13$。
解得$-\frac{11}{4} \leq a ＜ -\frac{5}{2}$。
$-\frac{11}{4} \leq a ＜ -\frac{5}{2}$

6. 在平面直角坐标系中直接画出函数$y= |x|$的图像. 若一次函数$y= kx+b$的图像分别过点A(-1,1)、B(2,2),根据这两个函数的图像写出方程组$\begin{cases}y= |x| \\ y= kx+b\end{cases} $的解.

答案： 解：函数$y = |x|$的图像如图所示：
（此处因无法直接画图，实际答题时需在坐标系中画出第一、二象限的角平分线）
设一次函数$y = kx + b$，将$A(-1,1)$、$B(2,2)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = 1 \\ 2k + b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \dfrac{1}{3} \\ b = \dfrac{4}{3}\end{cases}$，所以一次函数解析式为$y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3}$。
联立$\begin{cases}y = |x| \\ y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3}\end{cases}$
当$x \geq 0$时，$x = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3}$，解得$x = 2$，$y = 2$；
当$x ＜ 0$时，$-x = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3}$，解得$x = -1$，$y = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=1\end{cases}$，$\begin{cases}x=2 \\ y=2\end{cases}$。

7. 如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD、ED⊥BD,连接AC、EC. 已知AB= 5,DE= 1,BD= 8,设CD= x.
(1) 用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2) 求AC+CE的最小值；
(3) 根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.

答案：
(1) 解：因为 BD=8，CD=x，所以 BC=BD-CD=8-x。
因为 AB⊥BD，AB=5，所以在 Rt△ABC 中，AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{5^2+(8-x)^2}=\sqrt{(8-x)^2 + 25}$。
因为 ED⊥BD，DE=1，所以在 Rt△CDE 中，CE=$\sqrt{CD^2 + DE^2}=\sqrt{x^2 + 1^2}=\sqrt{x^2 + 1}$。
所以 AC+CE=$\sqrt{(8 - x)^2 + 25}+\sqrt{x^2 + 1}$。
(2) 解：作点 A 关于直线 BD 的对称点 A'，连接 A'E 交 BD 于点 C，此时 AC+CE 的值最小，最小值为 A'E 的长。
因为点 A 与 A'关于 BD 对称，AB=5，所以 A'B=AB=5，∠A'BD=∠ABD=90°，所以 A'，B，D 三点共线，且 A'D=A'B + BD=5 + 8=13？（此处错误，应为 A'在 AB 延长线上，A'B=AB=5，所以 A'到 D 的水平距离为 BD=8，垂直距离为 A'B + DE=5 + 1=6？不，重新构建：过点 A'作 A'F⊥ED 交 ED 的延长线于点 F。
则 A'F=BD=8，EF=DE + A'B=1 + 5=6。
在 Rt△A'FE 中，A'E=$\sqrt{A'F^2 + EF^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
所以 AC+CE 的最小值为 10。
(3) 解：构造直角梯形，使上底为 2，下底为 3，高为 12。设梯形的下底左端点为 B，右端点为 D，上底左端点为 A，右端点为 E，AB⊥BD，DE⊥BD，AB=2，DE=3，BD=12，设 CD=x，则 BC=12 - x。
此时 AC=$\sqrt{BC^2 + AB^2}=\sqrt{(12 - x)^2 + 2^2}=\sqrt{(12 - x)^2 + 4}$，CE=$\sqrt{CD^2 + DE^2}=\sqrt{x^2 + 3^2}=\sqrt{x^2 + 9}$，所以代数式$\sqrt{x^2 + 4}+\sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值即为 AC+CE 的最小值。
作点 A 关于 BD 的对称点 A'，连接 A'E 交 BD 于点 C，A'E 的长即为最小值。
过 A'作 A'F⊥ED 延长线于 F，则 A'F=BD=12，EF=DE + A'B=3 + 2=5。
在 Rt△A'FE 中，A'E=$\sqrt{A'F^2 + EF^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
所以代数式的最小值为 13。