《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

16. 如图,△ABC的顶点A、B在⊙O上,边BC过圆心O,且与⊙O相交于点E. D是$\widehat{BE}$的中点,AD交BC于点F,AC= FC.
(1) 求证：AC是⊙O的切线.
(2) 若BF= 8,DF= $\sqrt{40}$,求⊙O的半径r.

答案：

解：
(1)连接 O D 、 O A，
$\because D $为弧BE的中点，
$\therefore O D \perp B C，$
$\angle D O F=90^{\circ}，$
$\therefore \angle D+\angle O F D=90^{\circ}，$
$\because A C=F C，$ O A=O D，
$\therefore \angle C A F=\angle C F A，$$ \angle O A D=\angle D，$
$\because \angle C F A=\angle O F D，$
$\therefore \angle O A D+\angle C A F=90^{\circ}，$
$\therefore O A \perp A C，$
$\because O A $为半径，
$\therefore A C $是$ \odot O $的切线

17. 如图,AB是⊙O的直径,AD⊥l,垂足为D.
(1) 如图①,直线l与⊙O相切于点C,∠DAC= 30°,求∠BAC的度数；
(2) 如图②,直线l与⊙O相交于点E、F,∠DAE= 18°,求∠BAF的度数.

答案：
解：
(1)如图①， 连接 O C，
$\because $直线 l 与圆 O 相切于点 C，
$\therefore O C \perp l，$
$\because A D \perp l，$
$\therefore O C / / A D，$
$\therefore \angle O C A=\angle D A C，$
$\because O A=O C，$
$\therefore \angle B A C=\angle O C A$
$\therefore \angle B A C=\angle D A C=30^{\circ}\ $

(2) 解：如图， 连接 B F
$\because A B $是圆 O 的直径
$\therefore \angle A F B=90^{\circ}$
$\therefore \angle B A F=90^{\circ}-\angle B，$
$\therefore \angle A E F=\angle A D E+\angle D A E=90^{\circ} +18^{\circ}=108^{\circ}$
在圆 O 中， 四边形 A B F E 是圆的内接四边形，
$\therefore \angle A E F+\angle B=180^{\circ}$
$\therefore \angle B=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$
$\therefore \angle B A F=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-72^{\circ}=18^{\circ} $

18. 如图,AB是⊙O的直径,OC⊥AB,交⊙O于点C,D是$\widehat{AC}$上一点,E是AB上一点,EC⊥CD,交BD于点F. AD与BF相等吗？为什么？

答案：
解：连接 A C 、 B C
$\because O C \perp A B$
$\therefore \angle B O C=90^{\circ}$
$\therefore \angle B D C=\angle B A C=45^{\circ}$
$\because E C \perp C D，$
$\therefore \angle D C E=\angle A C B=90^{\circ}，$
$\therefore \triangle D C F $和$ \triangle A C B $都是等腰直角三角形
$\therefore D C=F C，$ A C=B C
$\because \angle D C A+\angle A C F=\angle B C F+\angle A C F=90^{\circ}$
$\therefore \angle D C A=\angle F C B$
在$ \triangle A C D $和$ \triangle B C F $中
${{\begin{cases}{{AC=BC}}\\{∠ACD=∠FCB}\\{CD=CF}\end{cases}}}$
$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C F(SAS)$
$\therefore AD=B F$