《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

8. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= 4 cm,AC= 6 cm,AM是中线.
(1)以点A为圆心,4 cm长为半径作⊙A,则点B、C、M与⊙A是什么位置关系？
(2)若以点A为圆心作⊙A,使B、C、M三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是什么？

答案： 【解析】：本题主要考查点与圆的位置关系以及圆的半径的取值范围。
（1）判断点与圆的位置关系，需比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小：
当$d\gt r$时，点在圆外；
当$d = r$时，点在圆上；
当$d\lt r$时，点在圆内。
已知以点$A$为圆心，$4cm$长为半径作$\odot A$，即$r = 4cm$。
因为$AB = 4cm$，所以点$B$到圆心$A$的距离$d_{AB}=AB = 4cm$，比较$d_{AB}$与$r$的大小：$d_{AB}=r = 4cm$，根据上述点与圆的位置关系可知，点$B$在$\odot A$上。
已知$AC = 6cm$，所以点$C$到圆心$A$的距离$d_{AC}=AC = 6cm$，比较$d_{AC}$与$r$的大小：$d_{AC}=6cm\gt r = 4cm$，根据上述点与圆的位置关系可知，点$C$在$\odot A$外。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$M$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
在$Rt\triangle ABC$中，$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16 + 36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}cm$，则$AM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{13}cm$。
所以点$M$到圆心$A$的距离$d_{AM}=AM=\sqrt{13}cm$，比较$d_{AM}$与$r$的大小：$d_{AM}=\sqrt{13}cm\approx 3.61cm\lt r = 4cm$，根据上述点与圆的位置关系可知，点$M$在$\odot A$内。
（2）要使$B$、$C$、$M$三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，需分别找出$B$、$C$、$M$到点$A$的距离：
由（1）可知$AB = 4cm$，$AC = 6cm$，$AM=\sqrt{13}cm$。
因为$\sqrt{13}\lt 4\lt 6$，即$AM\lt AB\lt AC$。
要使至少有一点在圆内，则半径$r$要大于$AM$的长度，即$r\gt\sqrt{13}cm$；
要使至少有一点在圆外，则半径$r$要小于$AC$的长度，即$r\lt 6cm$。
所以$\sqrt{13}cm\lt r\lt 6cm$。
【答案】：（1）点$B$在$\odot A$上，点$C$在$\odot A$外，点$M$在$\odot A$内；
（2）$\sqrt{13}cm\lt r\lt 6cm$。

9. 点A的坐标是(3,4),⊙A的半径是5,原点O与⊙A的位置关系是点O在⊙A上.

答案： 【解析】：
本题主要考察点与圆的位置关系。点与圆的位置关系可以通过比较点到圆心的距离$d$与圆的半径$r$来确定。如果$d ＜ r$，则点在圆内；如果$d = r$，则点在圆上；如果$d ＞ r$，则点在圆外。
在本题中，点$O$是原点，其坐标为$(0,0)$，点$A$的坐标是$(3,4)$，所以$OA$的距离可以通过距离公式计算得到，即$OA = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
又因为⊙$A$的半径是5，所以点$O$到圆心$A$的距离等于圆的半径，即点$O$在⊙$A$上。
【答案】：
点$O$在⊙$A$上。

10. 下列说法中,错误的有①③(填序号).
① 过圆心的线段是直径；② 周长相等的两个圆是等圆；③ 长度相等的两条弧是等弧；④ 经过圆上一点可以作无数条弦.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆的性质以及弦、弧等基本概念的理解。
对于①，根据直径的定义，直径是穿过圆心的特殊弦，但并非所有过圆心的线段都是直径，因为直径还需要满足其长度为圆的半径的两倍。所以①是错误的。
对于②，根据圆的性质，两个圆的周长相等，则它们的半径必然相等，因此它们是等圆。所以②是正确的。
对于③，等弧的定义是在同一个圆或等圆中，能够完全重合的弧。仅仅因为两条弧的长度相等，并不能保证它们是等弧。所以③是错误的。
对于④，根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段叫做弦。因此，经过圆上一点，我们可以选择圆上的任意其他点与之连接，形成弦。所以，经过圆上一点可以作无数条弦。所以④是正确的。
综上所述，错误的说法有①和③。
【答案】：
①③

11. 如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD= 40°,则∠DCF= 20°.

答案： 【解析】：本题考查垂径定理的推论和圆周角定理的推论。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
因为直径$CD$过弦$EF$的中点$G$，根据垂径定理的推论可知$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{DF}$。
已知$\angle EOD = 40^{\circ}$，$\angle EOD$是圆心角，$\angle DCF$是圆周角，它们所对的弧都是$\overset{\frown}{DE}$（或$\overset{\frown}{DF}$）。
根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，可得$\angle DCF=\frac{1}{2}\angle EOD$。
将$\angle EOD = 40^{\circ}$代入上式，可得$\angle DCF=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$。
【答案】：$20^{\circ}$

12. 如图,△ABC内接于⊙O,∠A= 45°,OB= 2 cm,则BC= $2\sqrt{2}$ cm.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理的知识。
先根据圆周角定理求出$\angle BOC$的度数，再由垂径定理即可得出结论。
∵$\angle A=45^{\circ}$，
∴根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，有$\angle BOC=2\angle A=90^{\circ}$。
∵$OB=OC=2cm$，且$\triangle OBC$是直角三角形，
∴根据勾股定理，有$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}cm$。
【答案】：$2\sqrt{2}$

13. 圆被一条弦分成的两条弧的长度之比为1:4,这条弦所对的圆周角等于36°或144°.

答案： 解：
∵圆被弦分成的两条弧长之比为1:4，
∴两条弧所对圆心角之比为1:4，
设较小圆心角为$n$，则较大圆心角为$4n$，
$n + 4n=360^{\circ}$，解得$n = 72^{\circ}$，$4n=288^{\circ}$，
弦所对圆周角为$\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$或$\frac{1}{2}×288^{\circ}=144^{\circ}$。
答案：$36^{\circ}$或$144^{\circ}$

14. 如图,⌒BC的度数为80°,弦AB与CD相交于点E,∠CEB= 60°. 求⌒AD的度数.

答案： 解：连接AC。
因为⌒BC的度数为80°，所以∠BAC=1/2×80°=40°。
因为∠CEB=60°，∠CEB是△AEC的外角，所以∠CEB=∠BAC+∠ACD，即60°=40°+∠ACD，解得∠ACD=20°。
所以⌒AD的度数=2∠ACD=2×20°=40°。
答：⌒AD的度数为40°。