《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

19. 在三角形纸片ABC中,∠C= 90°,AC= BC= 8,要在三角形纸片ABC中剪出一个扇形,使过扇形的弧两端的半径都在三角形纸片ABC的边上,且扇形的弧与三角形纸片ABC的其他边相切.
(1) 画出所有符合题意的设计方案示意图.
(2) 若用剪下的扇形围成圆锥的侧面,求相应圆锥的底面半径.
(3) 你所设计的方案中,方案______所围成的圆锥侧面积最小,方案______所围成的圆锥侧面积相等,等于______.
解：(1) 方案如下：

答案：
1,4
8π
2,3

解：
(2)设圆锥的底面半径为r
在方案1中
∵AC=BC，∠ACB=90°
∴扇形的半径为$\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}\sqrt{8^2+ 8^2}=4\sqrt{2}$
∵圆心角为90°
∴$2πr=\frac { 90π×4\sqrt{2}}{180}，$
∴$r=\sqrt{2}$
在方案2中
∵构成扇形的半径为8，圆心角为45°
∴$2πr=\frac { 45π×8}{ 180} $
∴r=1
在方案3中
∵扇形的圆心在斜边AB上，此时四边形
OMCN为正方形
∴ON=CN
∵在Rt△ONA中，∠A=45°
∴ON=NA
∴$ON=\frac {1}{2}AC=4$
∴2πr=4π
∴r=2
在方案4中
∵扇形的圆心角在BC边上，是以O为圆心的半
圆，设OC=OM=R
在Rt△OMB中，∠B=45°
∴OM=MB
∴$OB=\sqrt{2}R$
∵OC+OB=BC
∴$R+\sqrt{2}R=8$
∴$R=8\sqrt{2}-8$
∴$2πr=π(8\sqrt{2}-8)$
∴$r=4\sqrt{ 2}-4$
综上，剪下的扇形所围成的圆锥的底面半径为
$\sqrt{2}$或1或2或$4\sqrt{2}-4$

20. 一走廊拐角的横截面如图所示,已知AB⊥BC,AB//DE,BC//FG,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m,$\widehat{EF}$所在圆的圆心为O,半径为1 m,∠EOF= 90°,DE、FG分别与$\widehat{EF}$所在的⊙O相切于点E、F. 若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上,且MN与⊙O相切于点P,P是$\widehat{EF}$的中点,求木棒MN的长度.

答案：

解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交
AB于I
∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点
∴OE⊥ED，OF⊥FG
∵AB//DE，BC//FG
∴OI⊥AB，OH⊥BC
∵∠EOF=90°
∴四边形BIOH是矩形
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m
∴OI=OH=2
∴矩形BIOH是正方形
∴∠OBI=∠OBH=45°
∵P是$\widehat{EF}$的中点
∴OB经过P点
在正方形BIOH中，边长=2
∴$OB=2\sqrt{2}$
∵OP=1
∴$BP=2\sqrt{2}-1$
∵P是MN与⊙O的切点
∴OB⊥MN
∵∠OBI=∠OBH=45°，OB⊥MN
∴MP=NP=BP
∴MN=2BP
∵$BP=2\sqrt{2}-1$
∴$MN=2(2\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}-2$