《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

18. 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC= BC,点D在⌒AB上,点E在DA的延长线上,且CE= CD.
(1)试说明：AE= BD.
(2)若AC⊥BC,求证：AD+BD= $\sqrt{2}CD$.

答案：

$(1)解：(1)\ \because A C=B C，$

$\therefore \angle A B C=\angle B A C， $

$\because C E=C D， $

$\therefore \angle C D E=\angle C E D， $

$又 \because \angle A B C=\angle C D E， $

$\therefore \angle A B C=\angle B A C=\angle C D E=\angle C E D， $

$\because \angle A C B=180^{\circ}-\angle A B C-\angle B A C， $

$\angle E C D=180^{\circ}-\angle C D E-\angle C E D，$

$\therefore \angle A C B=\angle D C E，$

$\therefore \angle A C B-\angle A C D=\angle E C D-\angle A C D，$

$\therefore \angle B C D=\angle A C E，$

$在 \triangle A E C 和 \triangle B D C 中，$

${{\begin{cases}{{A C=B C}}\\{\angle A C E=\angle B C D}\\{\ C E=C D}\end{cases}}}$

$\therefore \triangle A E C \cong \triangle B D C(\mathrm {SAS})$

$\therefore A E=B D$

$(2)证明： \because A C \perp B C，$

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}，$

$\therefore \angle D C E=90^{\circ}，$

$又 \because C D=C E，$

$\therefore \triangle D C E 为等腰直角三角形，$

$\therefore D E^2=C D^2+C E^2=2\ \mathrm {C} D^2$

$\therefore D E=\sqrt{2}\ \mathrm {C} D$

$\because D E=A D+A E$

$且 A E=B D$

$\therefore A D+B D=\sqrt{2}\ \mathrm {C} D\ $

19. 如图,点M的坐标为$(0,\sqrt{3})$,⊙M与x轴交于A、B两点,AC是⊙M的直径,过点C的直线交x轴于点D,直线CD相应的一次函数表达式为$y= -\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$.
(1)求点D的坐标和BC的长；
(2)求点C的坐标和⊙M的半径.

答案： $解： (1) \because D 点在 x 轴上，$
$\therefore 纵坐标为 0，$
$\therefore-\sqrt{3} x+5 \sqrt{3}=0\ $
$\therefore x=5$
$\therefore D 的坐标 (5，0)$
$\because M 的坐标 (0， \sqrt{3})，$
$\therefore O M=\sqrt{3}$
$\because A C 是直径，$
$\therefore C B \perp A D$
$\therefore C B//OM，M 是圆心$

$\therefore M 是 A C 的中点$

$∴ B C=2\ \mathrm {O} M=2 \sqrt{3}.$

$(2)解：\ \mathrm {B} C=2 \sqrt{3} \mathrm ，{B}\ \mathrm {C} \perp A D$

$\therefore C 点的纵坐标为 2 \sqrt{3}$

$\because C 点在直线 C D 上，$

$\therefore 2 \sqrt{3}=-\sqrt{3} x+5 \sqrt{3}$

$\therefore x=3$

$\therefore C 点的坐标 (3，2 \sqrt{3})$

$\therefore O B=3根据垂径定理，\ $

$\therefore A B=6$

$\therefore A C=\sqrt{A B^2+B C^2}=\sqrt{36+12}=4 \sqrt{3}$

$\therefore \odot M 的半径 =\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C=2 \sqrt{3} $

20. 正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置如图所示,点A的坐标为(-2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴做无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2025次翻转之后,求点B的坐标.

答案： 解：由题意，正六边形边长为2，每次翻转60°，6次翻转一个循环，每次循环点B沿x轴正方向移动12个单位。
2025÷6=337……3，即337个循环余3次翻转。
337个循环移动距离：337×12=4044。
第1次翻转后B(2,0)；第2次翻转后B(3,$\sqrt{3}$)；第3次翻转后B(4,0)。
总坐标：4044+4=4048，y=0。
∴点B的坐标为(4048,0)。