《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

15. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,OE//AB交BC于点E. 判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由.

答案： 解：DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，CD。
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB。
∵OE//AB，OC=OA，
∴CE=EB，即E为BC中点。
在Rt△CDB中，E为BC中点，
∴DE=CE=EB，
∴∠EDC=∠ECD。
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC。
∵∠ACB=90°，即∠OCD+∠ECD=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90°，即∠ODE=90°。
∵OD是⊙O半径，
∴DE与⊙O相切。

16. 如图,点A、B、C、D在圆上,DC、AB的延长线相交于点E,且BC= BE. 求证：△ADE是等腰三角形.

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质以及等腰三角形的性质，通过证明角相等来证明$\triangle ADE$是等腰三角形。
已知点$A$、$B$、$C$、$D$在圆上，根据圆内接四边形的性质可知$\angle A + \angle BCD = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
又因为$\angle BCE + \angle BCD = 180^{\circ}$（邻补角的定义），所以由同角的补角相等可得$\angle A = \angle BCE$。
已知$BC = BE$，根据等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，所以$\angle E = \angle BCE$。
由上述推理可知$\angle A = \angle BCE$，$\angle E = \angle BCE$，所以$\angle A = \angle E$。
在$\triangle ADE$中，根据等腰三角形的判定定理，等角对等边，因为$\angle A = \angle E$，所以$AD = DE$，即$\triangle ADE$是等腰三角形。
【答案】：证明：
∵四边形$ABCD$是圆内接四边形，
∴$\angle A + \angle BCD = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
∵$\angle BCE + \angle BCD = 180^{\circ}$（邻补角的定义），
∴$\angle A = \angle BCE$（同角的补角相等）。
∵$BC = BE$，
∴$\angle E = \angle BCE$（等边对等角）。
∴$\angle A = \angle E$。
∴$AD = DE$（等角对等边），
∴$\triangle ADE$是等腰三角形。

17. 已知在如图的平面直角坐标系中有5个点：A(1,1)、B(-3,-1)、C(-3,1)、D(-2,-2)、E(0,-3).
(1)画△ABC的外接圆⊙P,并指出点D与⊙P的位置关系；
(2)若直线l经过点D、E,判断直线l与⊙P的位置关系.

答案：
(1) 画图略。
设⊙P的圆心为P(x,y)，由A(1,1)、B(-3,-1)、C(-3,1)，
AB中垂线：y - 0 = -2(x + 1)，即y = -2x - 2；
AC中垂线：x = -1。
联立得P(-1,0)，半径PA = √[(1+1)²+(1-0)²] = √5。
PD = √[(-2+1)²+(-2-0)²] = √5，故点D在⊙P上。
(2) 直线DE：设y = kx + b，代入D(-2,-2)、E(0,-3)，
得{-2k + b = -2, b = -3}，解得k = -1/2，b = -3，
∴直线l：y = -1/2x - 3。
圆心P(-1,0)到直线l的距离d = |-1/2×(-1) - 3 - 0| / √[(1/2)² + 1] = |-5/2| / (√5/2) = √5 = 半径，
故直线l与⊙P相切。
答案：
(1) 点D在⊙P上；
(2) 相切。