《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

11. 在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5$,$BC= 6$,以点$A$为圆心,$r为半径的圆与底边BC$(包括点$B和点C$)有两个公共点,那么$r$的取值范围是4＜r≤5.

答案： 解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=DC=3，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
当圆与BC相切时，r=AD=4；
当圆经过点B或点C时，r=AB=5，
∵圆与底边BC（包括点B和点C）有两个公共点，
∴r的取值范围是4＜r≤5。
答案：4＜r≤5

12. 在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 3\ cm$,$BC= 4\ cm$,以点$C$为圆心,$r$为半径画圆.
(1) 若$\odot C与线段AB$没有公共点,则$r$满足的条件是$r ＜ 2.4\ cm$或$r ＞ 4\ cm$;
(2) 若$\odot C与线段AB$只有一个公共点,则$r$满足的条件是$r=2.4\ cm$或$3\ cm ＜ r \leq 4\ cm$;
(3) 若$\odot C与线段AB$有两个公共点,则$r$满足的条件是$2.4\ cm ＜ r \leq 3\ cm$.

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3\ cm$，$BC=4\ cm$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\ cm$。
设点$C$到$AB$的距离为$d$，
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$，
$\therefore d=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4\ cm$。
(1) 若$\odot C$与线段$AB$没有公共点，则$r ＜ 2.4\ cm$或$r ＞ 4\ cm$。
(2) 若$\odot C$与线段$AB$只有一个公共点，则$r=2.4\ cm$或$3\ cm ＜ r \leq 4\ cm$。
(3) 若$\odot C$与线段$AB$有两个公共点，则$2.4\ cm ＜ r \leq 3\ cm$。

13. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O$的半径为1,$\angle AOB= 45^{\circ}$,点$P在x$轴上运动,设点$P的坐标为(x,0)$.若过点$P且与OA平行的直线与\odot O$有公共点,求$x$的取值范围.

答案： 【解析】：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及平行线的性质和三角函数的应用。
根据题意，过点$P$且与$OA$平行的直线与$\odot O$有公共点，即该直线与圆相交或相切。
当直线与圆相切时，切点到$O$点的距离为圆的半径，即$1$。
由于直线与$OA$平行，且$\angle AOB = 45^{\circ}$，
所以当直线在$x$轴上方与圆相切时，$OP$的长度为$\frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \sqrt{2}$，
此时$P$的坐标为$(\sqrt{2}, 0)$。
同理，当直线在$x$轴下方与圆相切时，$OP$的长度也为$\sqrt{2}$，
但此时$P$在$N$的左侧，
所以$P$的坐标为$(-\sqrt{2}, 0)$。
由于直线可以在$x$轴上方或下方与圆相交或相切，
所以$P$的$x$坐标取值范围为$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$。
【答案】：$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$。

14. 已知点$A的坐标为(3,1)$,$\odot A$与坐标轴有三个公共点.在如图所示的平面直角坐标系中画出$\odot A$,并求$\odot A$的半径.

答案： 解：
情况1：$\odot A$与x轴相切，与y轴相交。
点A到x轴距离$d_1=1$，半径$r=d_1=1$。
点A到y轴距离$d_2=3$，$r=1＜3$，此时$\odot A$与y轴无交点，不合题意。
情况2：$\odot A$与y轴相切，与x轴相交。
点A到y轴距离$d_2=3$，半径$r=d_2=3$。
点A到x轴距离$d_1=1$，$r=3＞1$，此时$\odot A$与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，共三个公共点，符合题意。
情况3：$\odot A$过原点，与两坐标轴各交于另一点。
半径$r=OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
点A到x轴距离$d_1=1＜\sqrt{10}$，与x轴有两个交点；点A到y轴距离$d_2=3＜\sqrt{10}$，与y轴有两个交点，原点为公共点，共三个公共点，符合题意。
综上，$\odot A$的半径为$3$或$\sqrt{10}$。
（画图略：以A(3,1)为圆心，分别以3和$\sqrt{10}$为半径画圆）
答案：半径为$3$或$\sqrt{10}$。

15. 如图,直线$l_{1}\perp l_{2}$,垂足为$O$,$AM\perp l_{1}$,垂足为$M$,$AN\perp l_{2}$,垂足为$N$,$AM= 4$,$AN= 3$,以$A$为圆心,$R为半径作\odot A$.根据下列条件,确定$R$的取值范围:
(1) 若$\odot A$与两直线无公共点,则$R$的取值范围为$R\lt 3$;
(2) 若$\odot A$与两直线只有一个公共点,则$R$的取值范围为$R = 3$或$R = 4$;
(3) 若$\odot A$与两直线有两个公共点,则$R$的取值范围为$3\lt R\lt 4$;
(4) 若$\odot A$与两直线有三个公共点,则$R$的取值范围为$R = 5$;
(5) 若$\odot A$与两直线有四个公共点,则$R$的取值范围为$R\gt 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考查直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$R$的大小来确定位置关系。
已知直线$l_1\perp l_2$，垂足为$O$，$AM\perp l_1$，垂足为$M$，$AN\perp l_2$，垂足为$N$，$AM = 4$，$AN = 3$。
根据勾股定理可求出$A$到$O$的距离$AO=\sqrt{AM^{2}+AN^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
（1）若$\odot A$与两直线无公共点，则圆心$A$到两直线的距离都大于$R$。
因为$A$到$l_1$的距离$AM = 4$，$A$到$l_2$的距离$AN = 3$，所以$R\lt 3$时，$\odot A$与两直线无公共点。
（2）若$\odot A$与两直线只有一个公共点，则$R$等于$A$到其中一条直线的距离。
当$R = 3$时，$\odot A$与$l_2$相切，与$l_1$相离，只有一个公共点；当$R = 4$时，$\odot A$与$l_1$相切，与$l_2$相交，也只有一个公共点。
所以$R = 3$或$R = 4$时，$\odot A$与两直线只有一个公共点。
（3）若$\odot A$与两直线有两个公共点，则$R$大于$A$到其中一条直线的距离且小于$A$到另一条直线的距离。
当$3\lt R\lt 4$时，$\odot A$与$l_2$相交，与$l_1$相离，有两个公共点。
所以$3\lt R\lt 4$时，$\odot A$与两直线有两个公共点。
（4）若$\odot A$与两直线有三个公共点，则$R$等于$A$到$O$的距离。
当$R = 5$时，$\odot A$经过$O$点，此时与$l_1$、$l_2$共有三个公共点。
所以$R = 5$时，$\odot A$与两直线有三个公共点。
（5）若$\odot A$与两直线有四个公共点，则$R$大于$A$到$O$的距离。
当$R\gt 5$时，$\odot A$与$l_1$、$l_2$都相交，有四个公共点。
所以$R\gt 5$时，$\odot A$与两直线有四个公共点。
【答案】：
(1) $R\lt 3$
(2) $R = 3$或$R = 4$
(3) $3\lt R\lt 4$
(4) $R = 5$
(5) $R\gt 5$