《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

5. 某军舰以$20\ n mile/h$($1\ n mile\approx1852\ m$)的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以$30\ n mile/h$的速度由南向北航行,它能侦察出周围$50\ n mile$(包括$50\ n mile$)范围内的目标. 如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处正南方向的B处,且$AB= 90\ n mile$. 如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能,最早何时能侦察到？如果不能,请说明理由.

答案：
解：设侦察船最早$ x\ \mathrm {h} $可侦察到这艘军舰. 根据题意， 得
$ (20 x)^2+(90-30 x)^2=50^2. $
解得$ x_1=2，$$ x_2=\frac {28}{13} ($舍去).
∴航行途中侦察船最早$ 2\ \mathrm {h} $可侦察到这艘军舰.

6. 在长、宽比为$2∶1$的矩形镜面玻璃四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子. 已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元. 如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.

答案： 解：设矩形镜子的宽为$ x\ \mathrm {m}，$ 则长为$ 2 x\ \mathrm {m}$
根据题意， 得$ 120 \times 2 x^2+30 \times 2(x+2 x)+45=195$
解得$ x_1=-1.25 ($舍去)，$x_2=0.5$
∴这面镜子的长$ 1\ \mathrm {m}，$ 宽$ 0.5\ \mathrm {m}$

7. 把一边长为$40\ cm$的正方形硬纸板进行适当的剪裁,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1) 如图,若在正方形硬纸板的四角各剪下一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子. 如果要使折成的无盖长方体盒子的底面积为$484\ cm^2$,那么剪下的正方形的边长为多少？
(2) 若在正方形硬纸板的四周剪下一些矩形(即剪下的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,若折成的长方体盒子的表面积为$550\ cm^2$,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).

答案：
(1) 解：设剪下的正方形的边长为$x\ cm$，则折成的无盖长方体盒子底面边长为$(40 - 2x)\ cm$。
根据题意，得$(40 - 2x)^2 = 484$
开平方，得$40 - 2x = \pm 22$
解得$x_1 = 9$，$x_2 = 31$
$\because 40 - 2x ＞ 0$，$\therefore x ＜ 20$，$x_2 = 31$不合题意，舍去。
答：剪下的正方形的边长为$9\ cm$。
(2) 解：设长方体盒子的高为$x\ cm$，长为$y\ cm$，宽为$z\ cm$（假设从正方形纸板四周剪下矩形，使折成的盒子长和宽相等），则$y = z$，且$y + 2x = 40$，即$y = 40 - 2x$。
长方体盒子表面积为$2(xy + xz + yz) = 550$，又$y = z$，则$2(2xy + y^2) = 550$，即$2xy + y^2 = 275$。
将$y = 40 - 2x$代入，得$2x(40 - 2x) + (40 - 2x)^2 = 275$
整理，得$(40 - 2x)(2x + 40 - 2x) = 275$，即$40(40 - 2x) = 275$
解得$x = \frac{40^2 - 275}{80} = \frac{1600 - 275}{80} = \frac{1325}{80} = 16.5625$（此解不符合实际，重新假设长和宽不同）
另设从正方形纸板的一组对边各剪下一个长为$40\ cm$，宽为$x\ cm$的矩形，从另一组对边各剪下一个长为$(40 - 2x)\ cm$，宽为$y\ cm$的矩形，折成的盒子长为$40 - 2x\ cm$，宽为$40 - 2y\ cm$，高为$x\ cm$（$x = y$时为正方体，此处设$x \neq y$，取$x = 5\ cm$尝试）
若高$x = 5\ cm$，则盒子表面积为$40×40 - 2×40x - 2×(40 - 2x)y = 550$，化简得$1600 - 400 - 2(40 - 10)y = 550$，$1200 - 60y = 550$，$60y = 650$，$y$不是整数。
再设从正方形纸板四角剪下小矩形（长为$a$，宽为$b$），折成有盖盒子，设盒子长为$40 - 2a$，宽为$40 - 2b$，高为$b$（$a ＞ b$），表面积$2[(40 - 2a)b + (40 - 2b)b + (40 - 2a)(40 - 2b)] = 550$，取$b = 5$，则$2[(40 - 2a)×5 + (40 - 10)×5 + (40 - 2a)(40 - 10)] = 550$，化简得$2[200 - 10a + 150 + 30(40 - 2a)] = 550$，$2[350 - 10a + 1200 - 60a] = 550$，$2[1550 - 70a] = 550$，$3100 - 140a = 550$，$140a = 2550$，$a$不是整数。
换一种剪裁方式：从正方形纸板的两边各剪下两个矩形作为盒子的盖和底，设剪下的矩形长为$x$，宽为$y$，使盒子长为$x$，宽为$y$，高为$z$，则$x + 2z = 40$，$2y + 2z = 40$（即$y + z = 20$），表面积$2(xy + xz + yz) = 550$，取$z = 5$，则$x = 30$，$y = 15$，表面积$2(30×15 + 30×5 + 15×5) = 2(450 + 150 + 75) = 2×675 = 1350$（太大）。
取盒子长$15\ cm$，宽$10\ cm$，高$5\ cm$，表面积$2(15×10 + 15×5 + 10×5) = 2(150 + 75 + 50) = 2×275 = 550$，符合题意。
答：此时长方体盒子的长为$15\ cm$，宽为$10\ cm$，高为$5\ cm$。（答案不唯一）