《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

6. 如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AC、BC分别相切于点D、E,MN切⊙O于点P,分别交CD、CE于点M、N,⊙O的半径为r.求Rt△CMN的周长.

答案：
解：连接OD、OE，如图
因为Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AC、BC分别相切于点D、E
所以OD⊥AC，OE⊥BC，而∠C=90°
所以四边形CEOD为矩形，而OD=OE
所以四边形CEOD为正方形
所以CD=CE=OE=r
因为MN切⊙O于点P，分别交CD、CE于点M、N
所以MP=MD，NP=NE
所以Rt△CMN的周长
=CM+CN+MN
=CM+CN+PM+PN
=CM+MD+CN+NE
=CD+CE
=r+r
=2r

7. 如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F为切点,AB= 18,BC= 14,CA= 12.求AD、BE、CF的长.

答案： 解：因为⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F
为切点
所以AD=AF，BE=BD，CF=CE
因为AD+BD=AB=18
AF+CF=AC=12
CE+BE=BC=14
所以AD+BE=18
AD+CF=12
CF+BE=14
所以$AD+BE+CF=\frac{1}{2}×(18+12+14)=22$
所以AD=(AD+BE+CF)-(BE+CF)
=22-14
=8
BE=22-12=10
CF=22-18=4

8. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,BC= 5,⊙O的半径r= 2.求△ABC的周长.

答案：
解：连接OE、OF
设AD=x，由切线长定理得AF=x
因为⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC
分别相切于点D、E、F
所以OE⊥BC，OF⊥AC
所以四边形OECF为正方形
因为r=2，BC=5
所以CE=CF=2，BD=BE=3
所以由勾股定理得
(x+2)^{2}+5^{2}=(x+3)^{2}
解得x=10，所以△ABC的周长为12+5+13=30

9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,以AC为直径的⊙O与AB交于点D,过点D的切线交BC于点E.
(1)试说明：EB= EC.
(2)若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由.

答案：

(1)连接CD、OD，如图所示
∵AC是直径，∠ACB=90°
∴BC是⊙O的切线
又
∵DE是⊙O的切线
∴ED=EC，∠ODE=90°
∴∠ODA+∠EDB=90°
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又
∵∠OAD+∠DBE=90°
∴∠EDB=∠EBD
∴ED=EB
∴EB=EC