《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

14. 方程$2x(x-3)= 5(x-3)$的根是(C)。
A.$x= \frac{5}{2}$
B.$x= 3$
C.$x_1= \frac{5}{2},x_2= 3$
D.$x_1= -\frac{5}{2},x_2= -3$

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的求解方法，特别是因式分解法。
首先，我们将原方程$2x(x-3)=5(x-3)$进行移项，得到：
$2x(x-3) - 5(x-3) = 0$
接着，我们可以提取公因式$(x-3)$，得到：
$(x-3)(2x-5) = 0$
由此，我们可以得到两个一元一次方程：
$x-3 = 0$ 和 $2x-5 = 0$
解这两个方程，我们可以得到原一元二次方程的两个解。
【答案】：
解：
$2x(x-3)=5(x-3)$
$2x(x-3) - 5(x-3) = 0$
$(x-3)(2x-5) = 0$
$x-3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$
$2x-5 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{2}$
所以，方程的解为 $x_1 = 3, x_2 = \frac{5}{2}$。
故选C。

15. 某商品价格经两次上浮$x\%$后,由100元涨为120元。下面所列方程正确的是(B)。
A.$100(1-x\%)^2= 120$
B.$100(1+x\%)^2= 120$
C.$100(1+2x\%)^2= 120$
D.$100[1+(x\%)^2]= 120$

答案： 【解析】：
本题主要考查增长后的价格等于增长前的价格乘以（1+增长率）这一公式。
设商品的价格首次上浮了$x\%$，则首次上浮后的价格为$100(1+x\%)$元；
第二次上浮时，其基础价格已经是$100(1+x\%)$元，所以再次上浮$x\%$后，其价格变为$100(1+x\%)(1+x\%)$元，即$100(1+x\%)^2$元。
根据题意，这个价格等于120元，所以我们可以得到方程：
$100(1+x\%)^2 = 120$
与选项对比，可以确定答案为B。
【答案】：
B

16. 已知方程$x^2-6x+q= 0可以配方成(x-p)^2= 7$的形式,那么$q$的值是(C)。
A.9
B.3
C.2
D.-2

答案： 【解析】：
本题主要考查配方法的应用。
首先，我们有原方程 $x^2 - 6x + q = 0$，需要将其配方成 $(x - p)^2 = 7$ 的形式。
展开 $(x - p)^2 = 7$，我们得到 $x^2 - 2px + p^2 = 7$，进一步整理为 $x^2 - 2px + p^2 - 7 = 0$。
与原方程 $x^2 - 6x + q = 0$ 对比，我们可以列出方程组：
$\begin{cases}-2p = -6, \\p^2 - 7 = q\end{cases}$
解第一个方程 $-2p = -6$，我们得到 $p = 3$。
将 $p = 3$ 代入第二个方程 $p^2 - 7 = q$，我们得到 $q = 3^2 - 7 = 2$。
【答案】：
C

17. 设$x_1、x_2是方程x^2+3x-3= 0$的两个根,则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$等于(C)。
A.3
B.-3
C.1
D.-1

答案： C

18. 若关于$y的一元二次方程ky^2-4y-3= 3y+4$有实数根,则$k$的取值范围是(B)。
A.$k＞-\frac{7}{4}$
B.$k\geq-\frac{7}{4}且k\neq0$
C.$k\geq-\frac{7}{4}$
D.$k＞-\frac{7}{4}且k\neq0$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的定义。
首先，将原方程 $ky^2 - 4y - 3 = 3y + 4$ 化为一元二次方程的一般形式：
$ky^2 - 7y - 7 = 0$，
其中，$a = k$，$b = -7$，$c = -7$。
由于方程有实数根，根据根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，有：
$\Delta = (-7)^2 - 4 × k × (-7) = 49 + 28k \geq 0$，
解得：
$k \geq -\frac{7}{4}$，
另外，由于 $a = k$，且 $a \neq 0$，所以 $k \neq 0$。
综合以上两个条件，得到 $k$ 的取值范围是 $k \geq -\frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$。
【答案】：
B. $k \geq -\frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$。

19. 已知$m、n是关于x的方程x^2-3x+a= 0$的两个根。若$(m-1)(n-1)= -6$,则$a$的值为(C)。
A.-10
B.4
C.-4
D.10

答案： 解：
∵m、n是方程$x^2 - 3x + a = 0$的两个根
∴由韦达定理得：$m + n = 3$，$mn = a$
∵$(m - 1)(n - 1) = -6$
∴$mn - m - n + 1 = -6$
将$m + n = 3$，$mn = a$代入上式得：
$a - 3 + 1 = -6$
解得：$a = -4$
答案：C

20. (1)$(x+2)^2-25= 0$； (2)$x^2+4x-5= 0$；
(3)$2x^2+1= 3x$； (4)$3(x-2)+x^2-2x= 0$。

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法等。
(1) 对于方程 $(x+2)^2-25= 0$，可以直接开平方进行求解。
(2) 对于方程 $x^2+4x-5= 0$，可以通过因式分解或者使用一元二次方程的求根公式进行求解。
(3) 对于方程 $2x^2+1= 3x$，需要先将其化为一元二次方程的标准形式，然后使用求根公式进行求解。
(4) 对于方程 $3(x-2)+x^2-2x= 0$，同样需要先化简为一元二次方程的标准形式，然后进行求解。
【答案】：
(1) 解：
由 $(x+2)^2-25= 0$，
得 $(x+2)^2 = 25$，
开平方得 $x+2 = \pm 5$，
所以 $x_1 = 5-2 = 3$，$x_2 = -5-2 = -7$。
(2) 解：
由 $x^2+4x-5= 0$，
因式分解得 $(x+5)(x-1)=0$，
所以 $x_1 = -5$，$x_2 = 1$。
(3) 解：
由 $2x^2+1= 3x$，
移项得 $2x^2 - 3x + 1 = 0$，
使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
其中 $a = 2$，$b = -3$，$c = 1$，
代入公式得 $x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 × 2 × 1}}{2 × 2}$，
化简得 $x = \frac{3 \pm 1}{4}$，
所以 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$。
(4) 解：
由 $3(x-2)+x^2-2x= 0$，
展开并整理得 $x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得 $(x+3)(x-2)=0$，
所以 $x_1 = -3$，$x_2 = 2$。

21. 已知$x^2-4x+y^2+6y+13= 0$,求$xy$的值。

答案： 解：设 x+y=z， 则原方程变为：
$z^2+2 z-8=0$
即 (z+4)(z-2)=0
解得： z=-4 或 2\
即 x+y=-4 或 2\

22. 三角形两边长分别是6和8,第三边长是$x^2-16x+60= 0$的一个实数根。求该三角形的面积。

答案： 解：解方程$x^2 - 16x + 60 = 0$，
$(x - 6)(x - 10) = 0$，
$x - 6 = 0$或$x - 10 = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 10$。
当第三边为$6$时，三角形三边长为$6$，$6$，$8$。
作底边$8$上的高$h$，则$h = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
面积$S = \frac{1}{2}×8×2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$。
当第三边为$10$时，三角形三边长为$6$，$8$，$10$。
因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以此三角形为直角三角形，
面积$S = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
综上，该三角形的面积为$8\sqrt{5}$或$24$。