《2025年同步练习江苏九年级数学上册苏科版》

9. 如图,AB、AC 是⊙O 的弦,AD 是⊙O 的切线,且 AC 平分∠BAD. $\widehat{AC}与\widehat{BC}$相等吗？为什么？

答案：

解：作直径AE，连结CE、CB，如图
因为AD是⊙O的切线
所以AE⊥AD
所以∠1+∠EAC=90°
因为AE为直径
所以∠ACE=90°
所以∠EAC+∠E=90°
所以∠1=∠E，而∠E=∠B
所以∠B=∠1
因为AC平分∠BAD
所以∠1=∠2
所以∠B=∠2
所以$ {\widehat{AC }}= {\widehat{BC }}$

10. 如图,A 是⊙O 外一点,OA 交⊙O 于点 C,过⊙O 上一点 P 作 PF⊥OA,垂足为 F,直线 PF 交⊙O 于点 E,∠FPC= ∠CPA. PA 是⊙O 的切线吗？为什么？

答案：
解：连接OP
$\because O C=O P$
$\therefore \angle O C P=\angle O P C=(180^{\circ}-\angle O) \div 2=90^{\circ}-\frac {1}{2} \angle O$
$\therefore P F \perp O A$
$\because \angle P F C=90^{\circ}$
则$ \angle O C P=90^{\circ}-\angle F P C$
$\because P F \perp O A$
$\therefore \angle P F C=90^{\circ}$
则$ \angle O C P=90^{\circ}-\angle F P C$
$\therefore \angle F P C=\frac {1}{2} \angle O$
$\because \angle F P C=\angle C P A $
$\therefore \angle O=2 \angle F P C=\angle F P C+\angle C P A=\angle A P F$
$\because \angle A+\angle A P F=90^{\circ}$
$\therefore \angle O+\angle A=90^{\circ}$
$\therefore \angle O P A=180^{\circ}-(\angle O+\angle A)=90^{\circ}$
$\therefore P A $是$ \odot O $的切线

11. 如图,DE 是⊙O 的直径,过点 D 作⊙O 的切线 AD,C 是 AD 的中点,AE 交⊙O 于点 B,且 BC//ED.
(1) BC 是⊙O 的切线吗？若是,给出证明；若不是,说明理由.
(2) 若⊙O 的半径为 1,求 AD 的长.

答案：

(1)解：是，理由如下：
如图，连接OB
∵C是AD中点且BC//ED
∴BC是△ADE的中位线
∴$BC=\frac12ED=OD=OE$
∵BC//OD，BC=OD
∴四边形BCDO为平行四边形
∵AD为圆O的切线
∴OD⊥AD
∴四边形BCDO为矩形
∴OB⊥BC
则BC为圆O的切线

(2)解：由
(1)已证四边形BCDO为矩形
又OB=OD
∴四边形BCDO为正方形
∴CD=OD=1
∵C为AD中点
∴AD=2CD=2

12. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= BC= 4,点 O 在 AB 上,⊙O 分别与 AC、BC 相切于点 D、E,与 AB 相交于点 F、G,DG、CB 的延长线相交于点 H. 求 CH 的长.

答案：

解：连接OD、OE、OC
∵⊙O分别与AC、BC相切与点D、点E
∴OD⊥AC，OE⊥BC
∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C=90°
又
∵OE=OD
∴四边形OECD是正方形
∴OC是∠C的角平分线
又
∵AC=BC
∴O为AB中点，OC⊥AB
∴OB=OC，∠BOC=90°
∵AC=BC，∠C=90°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴$AB=4\sqrt{2}$
∵OB=OC，∠BOC=90°
∴△BOC为等腰直角三角形
∵OE⊥BC
∴OE为△BOC斜边中线
∴$OE=\frac12BC=r=2$
∵O为AB中点
∴$BO=\frac12AB=2\sqrt{2}$
∴$BG=BO-GO=2\sqrt{2}-r=2\sqrt{2}-2$
∵四边形OECD是正方形
∴OD//CH
∵OG=OD=r
∴∠OGD=∠ODG
∵OD//CH
∴∠H=∠ODG
又
∵∠HGB=∠OGD
∴∠H=∠HGB
∴$HB=BG=2\sqrt{2}-2$
∴$CH=HB+BC=2\sqrt{2}+2$