《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

12.(★★)在$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$BC = 4 cm$,以点 $C$ 为圆心,$2 cm$ 为半径作圆,则$\odot C$ 与 $AB$ 的位置关系是______.

答案： 相切

13.(★★)如图24-20,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上,$DC$ 切$\odot O$ 于点 $C$,若$\angle A = 25^{\circ}$,则$\angle D$ 的度数为 【 】


A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： A

14.(★★)(江西)如图24-21,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,点 $P$ 是弦 $AC$ 上一动点(不与 $A$,$C$ 重合),过点 $P$ 作 $PE\bot AB$,垂足为 $E$,射线 $EP$ 交$\overset{\frown}{AC}$ 于点 $F$,交过点 $C$ 的切线于点 $D$.
(1)求证：$DC = DP$.
(2)若$\angle CAB = 30^{\circ}$,当 $F$ 是$\overset{\frown}{AC}$ 的中点时,判断以 $A$,$O$,$C$,$F$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形.说明理由.

答案：

(1)如图34,连接BC,OC,
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠OCA+∠OCB=90°.
∵ ∠OCA=∠OAC,∠B=∠OCB,
∴ ∠OCA+∠B=90°.
∵ CD为切线,
∴ ∠OCD=90°,
∴ ∠OCA+∠ACD=90°,
∴ ∠B=∠ACD.
∵ PE⊥AB,
∴ ∠APE=∠DPC=∠B,
∴ ∠DPC=∠ACD,
∴ DC=DP.
(2)以A,O,C,F为顶点的四边形是菱形.理由如下:
∵ ∠CAB=30°,
∴ ∠B=60°,
∴ △OBC为等边三角形,
∴ ∠AOC=120°.如图34,连接OF,AF,
∵ F是⌢AC的中点,
∴ ∠AOF=∠COF=60°,
∴ △AOF与△COF均为等边三角形,
∴ AF=AO=OC=CF,
∴ 四边形AOCF为菱形,即以A,O,C,F为顶点的四边形为菱形.

15.(★★)(黄石)如图24-22,已知 $A$,$B$,$C$,$D$,$E$ 是$\odot O$ 上五点,$\odot O$ 的直径 $BE = 2\sqrt{3}$,$\angle BCD = 120^{\circ}$,$A$ 为$\overset{\frown}{BE}$ 的中点,延长 $BA$ 到点 $P$,使 $AP = BA$,连接 $PE$.

(1)求线段 $BD$ 的长；
(2)求证：直线 $PE$ 是$\odot O$ 的切线.

答案：
(1)连接DE,
∵ BE为⊙O的直径,
∴ ∠BDE=90°.
∵ 四边形BCDE是圆内接四边形,
∴ ∠BCD+∠BED=180°.又
∵ ∠BCD=120°,
∴ ∠BED=60°,
∴ ∠DBE=30°,
∴ DE=1/2BE=√3.由勾股定理,得BD=3.
(2)连接AE,
∵ BE为⊙O的直径,
∴ BA⊥AE.
∵ A为⌢BE的中点,
∴ AB=AE,
∴ △ABE是等腰直角三角形,
∴ ∠ABE=45°.
∵ BA=AP,BA⊥AE,
∴ PE=BE,
∴ ∠P=∠ABE=45°,
∴ ∠PEB=90°,
∴ PE⊥BE,
∴ 直线PE是⊙O的切线.

16.(★★)(北京)如图24-23,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,过$\odot O$ 外一点 $P$ 作$\odot O$ 的两条切线 $PC$,$PD$,切点分别为 $C$,$D$,连接 $OP$,$CD$.
(1)求证：$OP\bot CD$；
(2)连接 $AD$,$BC$,若$\angle DAB = 50^{\circ}$,$\angle CBA = 70^{\circ}$,$OA = 2$,求 $OP$ 的长.

答案：
(1)连接OC,OD,则OC=OD.
∵ PD,PC是⊙O的切线,
∴ ∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP和Rt△OCP中,{OD=OC,{OP=OP
∴ Rt△ODP≌Rt△OCP,
∴ ∠DOP=∠COP.
∵ OD=OC,
∴ OP⊥CD.
(2)
∵ OD=OC=OB=OA=2,
∴ ∠ADO=∠DAB=50°,∠BCO=∠CBA=70°,
∴ ∠AOD=80°,∠BOC=40°,
∴ ∠COD=60°.
∵ OD=OC,
∴ △COD是等边三角形.由
(1)知,∠DOP=∠COP,
∴ ∠DOP=∠COP=30°,
∴ 在Rt△ODP中,DP=1/2OP,由勾股定理,得OP=4√3/3.