《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

14. (★★)如图 22.1 - 15,点 $ A $,$ B $ 的坐标分别为 $ (1, 4) $ 和 $ (4, 4) $,抛物线 $ y = a(x - m)^2 + n $ 的顶点在线段 $ AB $ 上运动,与 $ x $ 轴交于 $ C $,$ D $ 两点 ($ C $ 在 $ D $ 的左侧),点 $ C $ 横坐标的最小值为 -3,则点 $ D $ 横坐标的最大值为【】

A.-3
B.1
C.5
D.8

答案： D

15. (★★)(宜宾)将抛物线 $ y = 2x^2 $ 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得抛物线的解析式为____.

答案： y=2(x+1)²-2

16. (★★★)(湘潭)如图 22.1 - 16,点 $ P $ 为抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 上一动点.
(1)若抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 是由抛物线 $ y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 1 $ 通过图象平移得到的,请写出平移的过程.
(2)若直线 $ l $ 经过 $ y $ 轴上一点 $ N $,且平行于 $ x $ 轴,点 $ N $ 的坐标为 $ (0, -1) $,过点 $ P $ 作 $ PM \perp l $ 于 $ M $.
①问题探究：如图 22.1 - 16①,在对称轴上是否存在一定点 $ F $,使得 $ PM = PF $ 恒成立？若存在,求出点 $ F $ 的坐标；若不存在,请说明理由.
②问题解决：如图 22.1 - 16②,若点 $ Q $ 的坐标为 $ (1, 5) $,求 $ QP + PF $ 的最小值.

答案：

(1)
∵ 抛物线y=1/4(x+2)²-1的顶点坐标为(-2,-1),
∴ 抛物线y=1/4(x+2)²-1的图象向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度得到抛物线y=1/4x²的 图象.
(2)①存在一定点F,使得PM=PF恒成立.如图1,过点P作PB⊥y轴于点B,设点P的坐标为(a,1/4a²),则PF=PM=1/4a²+1.
∵ PB=a,
∴ 在Rt△PBF中,BF=√(PF²-PB²)=√((1/4a²+1)²-a²)=|1/4a²-1|,
∴ OF=1,
∴ 点F的坐标为(0,1). ②由①,知PM=PF,则QP+PF的最小值为QP+PM的最小值,当Q,P,M三点共线时,QP+PM有最小值,为点Q的纵坐标5加上点M纵坐标的绝对值1,即为6,
∴ QP+PF的最小值为6.