《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

10. (★)若方程 $ 2x^{2}-4x - k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k $ 的值为【 】

A.-1
B.-2
C.1
D.2

答案： B

11. (★★)已知关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}-2x + 1 = 0 $,若 $ a\lt 0 $,那么方程的根的情况是【 】

A.有两个相等的实数根
B.有两个不等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： B

12. (★★)已知关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}-(2m + 1)x + m = 0 $ 根的判别式的值是 9,则 $ m = $______。

答案： 2或-1

13. (★★)(铁岭)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-8x + 4 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ a $ 的取值范围是______。

答案： $a＜4$且$a≠0$

14. (★★)是否存在这样的非负整数 $ m $,使关于 $ x $ 的一元二次方程 $ m^{2}x^{2}-(2m - 1)x + 1 = 0 $ 有两个实数根？若存在,请求出来；若不存在,请说明理由。

答案： 不存在.由$\Delta\geq0$,得$m\leq\frac{1}{4}.\because$ $m＞0,\therefore$ $0＜m\leq\frac{1}{4}$,这样的非负整数m不存在.

15. (★★)关于 $ x $ 的方程 $ (a + b)x^{2}+2cx - a + b = 0 $,其中 $ a,b,c $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的三边长。
(1)若方程有两个相等的实数根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由；
(2)若 $ \triangle ABC $ 为等边三角形,试求出这个方程的解。

答案：
(1)$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下:$\because$ 方程有两个相等的实数根,$\therefore$ $(2c)^{2}-4(a+b)(b-a)=0,\therefore$ $4c^{2}-4b^{2}+4a^{2}=0,\therefore$ $b^{2}=a^{2}+c^{2},\therefore$ $\triangle ABC$是直角三角形.
(2)$\because$ $\triangle ABC$是等边三角形,$\therefore$ $a=b=c,\therefore$ 原方程可化为$2ax^{2}+2ax=0$,即$x^{2}+x=0$.解得$x_{1}=0,x_{2}=-1$.即这个方程的解为$x_{1}=0,x_{2}=-1$.

16. (★★)用公式法解下列一元二次方程：
(1) $ 2x^{2}-x - 1 = 0 $；
(2) $ x^{2}+1.5 = -3x $；
(3) $ x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}= 0 $；
(4) $ (3y - 2)(y + 1)= -1 $。

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-\frac{1}{2}$.
(2)$x_{1}=\frac{-3-\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$.
(3)$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
(4)$y_{1}=\frac{-1-\sqrt{13}}{6},y_{2}=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}.$