《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

17. (★★)小明在解方程 $ x^{2}-5x = 1 $ 时出现了错误,解答过程如下：
$ \because a = 1,b = -5,c = 1 $,(第一步)
$ \therefore b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4× 1× 1 = 21 $,(第二步)
$ \therefore x= \frac{5\pm\sqrt{21}}{2} $,(第三步)
$ \therefore x_{1}= \frac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}= \frac{5-\sqrt{21}}{2} $。(第四步)
(1)小明的解答过程是从第______步开始出错的；
(2)写出此题正确的解答过程。

答案：
(1)一
(2)原方程可化为$x^{2}-5x-1=0.\because$ $a=1,b=-5,c=-1,\therefore$ $b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29,\therefore$ $x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2},\therefore$ $x_{1}=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$

18. (★)(河南)一元二次方程 $ (x + 1)(x - 1)= 2x + 3 $ 的根的情况是【 】

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

19. (★★)(新疆)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 1)x^{2}+x + 1 = 0 $ 有两个实数根,则 $ k $ 的取值范围是【 】

A.$ k\leq\frac{5}{4} $
B.$ k\gt\frac{5}{4} $
C.$ k\lt\frac{5}{4} $ 且 $ k\neq 1 $
D.$ k\leq\frac{5}{4} $ 且 $ k\neq 1 $

答案： D

20. (★★)(包头)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + m - 2 = 0 $ 有两个实数根,$ m $ 为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数 $ m $ 的和为【 】

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： B

1. (★) 把下列各式分解因式：
(1) $4x^{2}-1= $ ______；
(2) $x^{2}-6x + 9= $ ______；
(3) $3x^{2}-12x= $ ______；
(4) $x(x + 2)+3(x + 2)= $ ______。

答案：
(1)$(2x+1)(2x-1)$
(2)$(x-3)^{2}$
(3)$3x(x-4)$
(4)$(x+2)(x+3)$

2. (★) (1) 若实数 $a,b$ 满足 $a^{2}+b^{2}= 0$,则有 $a= $ ______ 且 $b= $ ______；
(2) 若实数 $a,b$ 满足 $ab = 0$,则有 $a= $ ______ 或 $b= $ ______。

答案：
(1)0 0
(2)0 0

3. (★) 解一元二次方程时,先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于 $0$ 的形式,再使 ______,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

答案： 这两个一次式分别等于0

4. (★) ______ 和 ______ 适用于解所有的一元二次方程,______ 在解某些一元二次方程时比较简便。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程,即 ______。

答案： 公式法 配方法 因式分解法 降次