《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

7. (★)如图22.3-4,在边长为6 cm的正方形$ABCD$中,点$E,F,G,H分别从点A,B,C,D$同时出发,均以1 cm/s的速度向点$B,C,D,A$匀速运动,当点$E到达点B$时,四个点同时停止运动.在运动过程中,运动时间$t= $____s时,四边形$EFGH$的面积最小.

答案： 3

8. (★★)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤为一边,用总长为$a$($a$为大于21的常数)m的围网在水库中围成了如图22.3-5所示的①②两块矩形区域.已知岸堤的可用长度不超过21 m.设$AB的长为x$m,矩形区域$ABCD的面积为y$m^2.
(1)求$y与x$之间的函数关系式,并求出自变量$x$的取值范围(用含$a$的式子表示);
(2)若$a= 30$,求$y$的最大值,并求出此时$x$的值;
(3)若$a= 48$,请求出$y$的最大值.

答案：
(1)因为 AB 的长为$x\ m$,则 BC 的长为$(a-3x)\ m$,根据题意,得$y=x(a-3x)=-3x^{2}+ax$.由$a-3x\leqslant21$,得$x\geqslant\dfrac{a-21}{3}$.由$a-3x＞0$,得$x＜\dfrac{a}{3}$.$\therefore$ $x$的取值范围为$\dfrac{a-21}{3}\leqslant x＜\dfrac{a}{3}$.
(2)当$a=30$时,$y=-3x^{2}+30x=-3(x-5)^{2}+75$.$\because$ $3\leqslant x＜10$,$\therefore$ 当$x=5$时,$y$取得最大值75.
(3)当$a=48$时,$y=-3x^{2}+48x=-3(x-8)^{2}+192$.$\because$ 当$a=48$时,$9\leqslant x＜16$,$\therefore$ 当$x=9$时,$y$取得最大值189.

9. (★★)如图22.3-6,抛物线$y= x^{2}+bx+c与x轴交于A,B$两点,与$y轴交于C$点,$OA= 2$,$OC= 6$,连接$AC和BC$.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点$E$是抛物线在第四象限内的动点,连接$CE和BE$,求$\triangle BCE面积的最大值及此时点E$的坐标.

答案：
(1)$\because$ $OA=2$,$OC=6$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-2,0)$,点 C 的坐标为$(0,-6)$.将$A(-2,0)$,$C(0,-6)$代入$y=x^{2}+bx+c$,得$\begin{cases}4-2b+c=0,\\c=-6.\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-1,\\c=-6.\end{cases}$$\therefore$ 此抛物线的解析式为$y=x^{2}-x-6$.
(2)如图4,连接 OE,由题意,得点 B 的坐标为$(3,0)$.设点 E 的坐标为$(a,a^{2}-a-6)$,则$S_{\triangle BCE}=S_{\triangle OCE}+S_{\triangle OBE}-S_{\triangle OBC}=\dfrac{1}{2}×6a+\dfrac{1}{2}×3(-a^{2}+a+6)-\dfrac{1}{2}×3×6=-\dfrac{3}{2}a^{2}+\dfrac{9}{2}a=-\dfrac{3}{2}\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{27}{8}$.根据二次函数的图象及性质可知,当$a=\dfrac{3}{2}$时,$\triangle BCE$的面积有最大值$\dfrac{27}{8}$,此时点 E 的坐标为$\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{21}{4}\right)$.