《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

10. (★★)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是 $ x^{2}-4x + 2 = 0 $ 的两根,求下列各式的值：
(1) $ \dfrac{1}{x_{1}^{2}}+\dfrac{1}{x_{2}^{2}} $；
(2) $ (x_{1}-x_{2})^{2} $.

答案：
(1)3.
(2)8.

11. (★★)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3x + m = 0 $ 有两个根,其中一个根是另一个根的 $ 2 $ 倍,求 $ m $ 的值及方程的两个根.

答案： $m=2$,方程的两根为1和2.

12. (★★★)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+3x + m - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ 2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}+10 = 0 $,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)由$\Delta \geqslant 0$,得$m\leqslant \dfrac{13}{4}$.
(2)把$x_{1}+x_{2}=-3$,$x_{1}x_{2}=m-1$代入,得$m=-3$.

13. (★★)(鄂州)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}+3x_{2} = 5 $,则 $ m $ 的值为 【 】

A.$ \dfrac{7}{4} $
B.$ \dfrac{7}{5} $
C.$ \dfrac{7}{6} $
D.$ 0 $

答案： A

14. (★★)(巴中)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-1 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 设 $ x_{1},x_{2} $ 是方程的两根且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}-17 = 0 $,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)根据题意,得$\Delta =(2m+1)^{2}-4(m^{2}-1)＞0$.解得$m＞-\dfrac{5}{4}$.所以$m$的取值范围为$m＞-\dfrac{5}{4}$.
(2)根据题意,得$x_{1}+x_{2}=-(2m+1)$,$x_{1}x_{2}=m^{2}-1$,$\therefore$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}-17=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}-17=0$,$\therefore$ $(2m+1)^{2}-(m^{2}-1)-17=0$.解得$m_{1}=\dfrac{5}{3}$,$m_{2}=-3$(不合题意,舍去).$\therefore$ $m$的值为$\dfrac{5}{3}$.