《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

15. (★★★)如图24.2-16,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA= CD,∠D= 30°.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由；
(2)若⊙O的半径为5,求点A到CD所在直线的距离.

答案：
(1)直线CD与⊙O相切.理由如下:如图28,
∵ △ACD是等腰三角形,∠D=30°,
∴ ∠CAD=∠D=30°.连接OC,
∵ AO=CO,
∴ △AOC是等腰三角形,
∴ ∠CAO=∠ACO=30°,
∴ ∠COD=60°.在△COD中,
∵ ∠D=30°,
∴ ∠DCO=90°,
∴ CD是⊙O的切线,即直线CD与⊙O相切.
(2)过点A作AE⊥CD,垂足为点E.在Rt△COD中,
∵ ∠CDO=30°,
∴ OD=2OC=10,AD=AO+OD=15.在Rt△ADE中,
∵ ∠D=30°,
∴ 点A到CD所在直线的距离为AE=7.5.

16. (★★)(河南)如图24.2-17,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.
(1)求证：CE= EF.
(2)连接AF并延长,交⊙O于点G. 填空：
①当∠D的度数为______时,四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为______时,四边形ECOG为正方形.

答案：
(1)连接OC.
∵ CE是⊙O的切线,
∴ OC⊥CE,
∴ ∠FCO+∠ECF=90°.
∵ DO⊥AB,
∴ ∠B+∠BFO=90°.
∵ ∠CFE=∠BFO,
∴ ∠B+∠CFE=90°.
∵ OC=OB,
∴ ∠FCO=∠B,
∴ ∠ECF=∠CFE,
∴ CE=EF.
(2)①30° ②22.5°

1. (★)经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间____的长,叫做这点到圆的切线长.

答案： 线段

2. (★)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的____相等,这一点和圆心的连线平分____的夹角.

答案： 切线长 两条切线

3. (★)三角形三条____的交点,叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形____的距离相等.

答案： 角平分线 三条边

4. (★)如图24.2-18,已知$\odot O的半径为R$,$AB是\odot O$的直径,$D是AB$延长线上一点,$DC是\odot O$的切线,$C$是切点,连接$AC$,若$∠CAB = 30^{\circ}$,则$BD$的长为____,切线长$CD$为____.(用含$R$的式子表示)

答案： $R$ $\sqrt{3}R$