《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

17. (★★)(河南)如图 24 - 37,将半径为 2,圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°,点 O,B 的对应点分别为 O',B',连接 BB',则图中阴影部分的面积是【 】

A.$\frac{2\pi}{3}$
B.$2\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$
C.$2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$


D.$4\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$

答案： C

18. (★★)(重庆)如图 24 - 38,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,∠ABC = 60°,AB = 2,分别以点 A、点 C 为圆心,以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为______(结果保留 π)。

答案： $2\sqrt {3}-\frac {2}{3}π$

19. (★★)(德州)如图 24 - 39,AB 是⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C,且与 AB 的延长线交于点 E,点 C 是$\overset{\frown}{BF}$的中点。
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若∠CAD = 30°,⊙O 的半径为 3,一只蚂蚁从点 B 出发,沿着 BE - EC - $\overset{\frown}{CB}$爬回至点 B,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14,√3≈1.73,结果保留一位小数)。

答案：
(1)连接 OC,
∵ 直线 CD 与⊙O 相切,$\therefore OC⊥CD$.
∵ 点 C 是$\widehat {BF}$的中点,$\therefore ∠DAC=∠EAC.\because OA=OC,\therefore ∠OCA=∠EAC,$$\therefore ∠DAC=∠OCA,\therefore OC// AD,\therefore AD⊥CD.$
(2)$\because ∠CAD=30^{\circ },\therefore ∠CAE=30^{\circ },\therefore ∠COE=60^{\circ },$$\therefore ∠E=30^{\circ },\therefore OE=2OC=6,\therefore BE=OE-OB=3$.由勾股定理,得$EC=3\sqrt {3}$.$\widehat {BC}$的长为$\frac {60π×3}{180}=π$,
∴ 蚂蚁爬过的路程为$3+3\sqrt {3}+π\approx 11.3.$