《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

4. ($★$)下列二次函数中,图象以直线$x = 2$为对称轴,且经过点$(0,1)$的是【 】

A.$y = (x - 2)^2 + 1$
B.$y = (x + 2)^2 + 1$
C.$y = (x - 2)^2 - 3$
D.$y = (x + 2)^2 - 3$

答案： C

5. ($★$)已知抛物线经过$A(-1,0)$,$B(5,0)$,$C(0,3)$三点,那么此抛物线的解析式为___.

答案： $y=-\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x+3$

6. ($★★$)已知二次函数的图象经过原点及点$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$,且图象与$x轴的另一交点到原点的距离为1$,则该二次函数的解析式为___.

答案： $y=x^{2}+x$或$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{3}x$

7. ($★$)已知二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)的图象如图22 - 1$所示,则下列结论正确的是【 】


A.$a ＜ 0$,$b ＞ 0$,$c ＞ 0$
B.$a ＜ 0$,$b ＞ 0$,$c ＜ 0$
C.$a ＜ 0$,$b ＜ 0$,$c ＞ 0$
D.$a ＜ 0$,$b ＜ 0$,$c ＜ 0$

答案： A

8. ($★★$)把抛物线$y = 3x^2向上平移2$个单位长度,再向右平移$3$个单位长度,则所得的抛物线是【 】

A.$y = 3(x + 3)^2 - 2$
B.$y = 3(x + 3)^2 + 2$
C.$y = 3(x - 3)^2 - 2$
D.$y = 3(x - 3)^2 + 2$

答案： D

9. ($★★$)已知抛物线$y = ax^2 + bx + c经过点(-1,5)$,且无论$m$为何值,不等式$a + b\geq am^2 + bm$恒成立,则关于$x的方程ax^2 + bx + c = 5$的解为___.

答案： $x_{1}=-1,x_{2}=3$ 提示:
∵ 不等式$a+b≥am^{2}+bm$恒成立,
∴ $a+b+c≥am^{2}+bm+c$恒成立,
∴ 点$(1,a+b+c)$是抛物线的顶点,
∴ 点$(-1,5)$关于直线$x=1$的对称点为$(3,5)$,
∴ 当$y=5$时,$x_{1}=-1,x_{2}=3$.

10. ($★★$)如图$22 - 2$,把抛物线$y = \frac{1}{2}x^2平移得到抛物线m$,抛物线$m经过点A(-6,0)和原点O(0,0)$,它的顶点为$P$,它的对称轴与抛物线$y = \frac{1}{2}x^2交于点Q$,则图中阴影部分的面积为___.

答案： $\frac{27}{2}$

11. ($★★$)(扬州)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为$30$元/件,每天销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间存在一次函数关系,如图$22 - 3$所示.
(1)求$y与x$之间的函数关系式.
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于$240$件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大？最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出$150$元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于$3600$元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

答案：
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.由题意,得$\begin{cases}40k + b = 300\\55k + b = 150\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -10\\b = 700\end{cases}$.故$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-10x + 700$.
(2)由题意,得$-10x + 700≥240$.解得$x≤46$.设利润为$w$,则$w=(x - 30)y=(x - 30)(-10x + 700)=-10x^{2}+1000x - 21000=-10(x - 50)^{2}+4000$.
∵ $-10＜0$,
∴ 当$x＜50$时,$w$随$x$的增大而增大,
∴ 当$x = 46$时,$w_{最大}=-10×(46 - 50)^{2}+4000 = 3840$,
∴ 当销售单价为 46 元时,每天获取的利润最大,最大利润是 3840 元.
(3)由题意,得$w - 150=-10x^{2}+1000x - 21000 - 150 = 3600$,$-10(x - 50)^{2}=-250$,解得$x_{1}=55,x_{2}=45$.
∵ $-10＜0$,
∴ 二次函数开口向下,
∴ 当$45≤x≤55$时,捐款后每天剩余利润不低于 3600 元.