《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

15. (★★)如图 24.1-44,等腰三角形$ABC的三个顶点在\odot O$上,已知$AB = AC$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$BD是\odot O$的直径,如果$CD= \frac{4\sqrt{3}}{3}$,则$AD$的长度为____.

答案： 4

16. (★★)如图 24.1-45,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\odot O$上的两点,且$AC = CD$. 求证：$OC// BD$.

答案：
∵ $AC = CD$,
∴ $\widehat{AC}=\widehat{CD}$,
∴ $\angle ABC = \angle CBD$.又
∵ $OC = OB$,
∴ $\angle OCB = \angle OBC$,
∴ $\angle OCB = \angle CBD$,
∴ $OC// BD$.

17. (★★★)已知$\odot O的直径为10$,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$.
(1)如图 24.1-46①,若$BC为\odot O$的直径,$AB = 6$,求$AC$,$BD$,$CD$的长；
(2)如图 24.1-46②,若$\angle CAB = 60^{\circ}$,求$BD$的长.

答案：

(1)连接 $OD$.由已知,$BC$ 为 $\odot O$ 的直径,得 $\angle CAB = \angle BDC = 90°$.在 $Rt\triangle CAB$ 中,$BC = 10$,$AB = 6$,
∴ $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$.
∵ $AD$ 平分 $\angle CAB$,
∴ $\angle CAD = \angle BAD$,
∴ $\angle COD = \angle BOD$,
∴ $\widehat{CD}=\widehat{BD}$,
∴ $CD = BD$.在 $Rt\triangle BDC$ 中,$BC = 10$,$CD^2 + BD^2 = BC^2$,
∴ $BD^2 = CD^2 = 50$,
∴ $BD = CD = 5\sqrt{2}$.　　
(2)如图 24,连接 $OB$,$OC$,$OD$.
∵ $AD$ 平分 $\angle CAB$ 且 $\angle CAB = 60°$,
∴ $\angle DAB = \frac{1}{2}\angle CAB = 30°$,
∴ $\angle DOB = 2\angle DAB = 60°$.又
∵ 在 $\odot O$ 中,$OB = OD$,
∴ $\triangle OBD$ 是等边三角形.
∵ $\odot O$ 的直径为 10,
∴ $OB = 5$,
∴ $BD = 5$.

18. (★★)如图 24.1-47,$\odot C$过原点,且与两坐标轴分别交于点$A$,$B$,点$A的坐标为(0,4)$,$M是第三象限内\overset{\frown}{OB}$上一点,$\angle BMO = 120^{\circ}$.
(1)求证：$AB为\odot C$的直径；
(2)求$\odot C$的半径.

答案：
(1)
∵ $\odot C$ 经过原点,
∴ $\angle AOB = 90°$,
∴ $AB$ 是 $\odot C$ 的直径.　　
(2)
∵ 四边形 $AOMB$ 是圆内接四边形,$\angle BMO = 120°$,
∴ $\angle OAB = 60°$,
∴ $\angle ABO = 30°$.
∵ 点 $A$ 的坐标为 $(0,4)$,
∴ $OA = 4$,
∴ $AB = 2OA = 8$,
∴ $\odot C$ 的半径为 4.