《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

9. (★★)(营口)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量$y$(千克)与时间第$t天之间的函数关系式为y= 2t + 100(1\leq t\leq80$,$t$为整数),销售单价$p$(元/千克)与时间第$t$天之间满足一次函数关系如下表：
|时间第$t$天|1|2|3|…|80|
|销售单价$p$(元/千克)|49.5|49|48.5|…|10|

(1)直接写出销售单价$p$(元/千克)与时间第$t$天之间的函数关系式.
(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1)$p=-0.5t+50$. 提示:设销售单价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式为$p=kt+b(k≠0)$,将$(1,49.5),(2,49)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} k+b=49.5,\\ 2k+b=49.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-0.5\\ b=50.\end{array}\right. \therefore $ 销售单价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式为$p=-0.5t+50.$
(2)设每天获得的利润为w元,由题意,得$w=(2t+100)(-0.5t+50)-6(2t+100)=-t^{2}+38t+4400=-(t-19)^{2}+4761.∵ a=-1＜0$,
∴ w有最大值.又
∵ $1≤t≤80$,t为整数,
∴ 当$t=19$时,$w_{最大}=4761$,
∴ 第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元.

10. (★★★)(襄阳改编)张大爷把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第$x天的售价为y$元/千克,$y关于x的函数解析式为y= \begin{cases}mx - 76m(1\leq x\lt20,x为正整数)\\n(20\leq x\leq30,x为正整数)\end{cases} $,且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植和销售蓝莓的成本是18元/千克,每天的利润(利润= 销售收入 - 成本)是$W$元.
(1)$m= $____,$n= $____.
(2)销售蓝莓第几天时,当天的利润最大？最大利润是多少？
(3)在销售蓝莓的30天中,当天利润不低于870元的共有多少天？

答案：
(1)$-\frac {1}{2}$ 25 提示:当第12天的售价为32元/千克,代入$y=mx-76m$,得$32=12m-76m$,解得$m=-\frac {1}{2}$.当第26天的售价为25元/千克时,代入$y=n$,则$n=25$.
(2)由
(1),知第x天的销售量为$20+4(x-1)=(4x+16)$(千克).当$1≤x＜20$时,$W=(4x+16)(-\frac {1}{2}x+38-18)=-2x^{2}+72x+320=-2(x-18)^{2}+968,\therefore$ 当$x=18$时,$W_{最大}=968$.当$20≤x≤30$时,$W=(4x+16)(25-18)=28x+112.\because 28＞0,\therefore W$随x的增大而增大,$\therefore$ 当$x=30$时,$W_{最大}=952.\because 968＞952,$
∴ 当$x=18$时,$W_{最大}=968$.即销售蓝莓第18天时,当天的利润最大,最大利润为968元.
(3)当$1≤x＜20$时,令$-2x^{2}+72x+320=870$.解得$x_{1}=25,x_{2}=11$.
∵ 抛物线$W=-2x^{2}+72x+320$的开口向下,
∴ $11≤x≤25$时,$W≥870$,
∴ $11≤x＜20$.又
∵ x为正整数,
∴ 有9天利润不低于870元.当$20≤x≤30$时,令$28x+112≥870$.解得$x≥27\frac {1}{14}.\therefore 27\frac {1}{14}≤x≤30$.又
∵ x为正整数,
∴ 有3天利润不低于870元.综上所述,当天利润不低于870元的共有12天.