《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

17. (★★)(张家界)如图23.1-12,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转$45^{\circ}后得到正方形OA_1B_1C_1$,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形$OA_{2019}B_{2019}C_{2019}$,那么点$A_{2019}$的坐标是【 】


A.$(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
B.$(1,0)$
C.$(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
D.$(0,-1)$

答案： A　提示:
∵ 四边形$OABC$是正方形,且$OA=1$,
∴ 点$A$的坐标为$(0,1)$.
∵ 将正方形$OABC$绕点$O$顺时针旋转$45°$后得到正方形$OA_1B_1C_1$,…,
∴ $A_1\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$,$A_2(1,0)$,$A_3\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$,…,如图9,发现是8次一循环,
∴ $2019÷8=252\cdots\cdots3$,
∴ 点$A_{2019}$的坐标为$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

18. (★★)(苏州)如图23.1-13,在$\triangle ABC$中,点E在BC边上,$AE = AB$,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得$\angle CAF = \angle BAE$,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证：$EF = BC$；
(2)若$\angle ABC = 65^{\circ}$,$\angle ACB = 28^{\circ}$,求$\angle FGC$的度数.

答案：
(1)
∵ $\angle CAF=\angle BAE$,
∴ $\angle CAF+\angle CAE=\angle BAE+\angle CAE$,即$\angle BAC=\angle EAF$.
∵ 将线段$AC$绕$A$点旋转到$AF$的位置,
∴ $AC=AF$. 在$\triangle ABC$与$\triangle AEF$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ \angle BAC=\angle EAF, \\ AC=AF, \end{cases}$
∴ $\triangle ABC\cong\triangle AEF(SAS)$,
∴ $EF=BC$.
(2)
∵ $AB=AE$,$\angle ABC=65°$,
∴ $\angle AEB=65°$,
∴ $\angle BAE=180° - 65°×2=50°$,
∴ $\angle CAF=\angle BAE=50°$.
∵ $\triangle ABC\cong\triangle AEF$,
∴ $\angle F=\angle ACB=28°$,
∴ $\angle FGC=\angle CAF+\angle F=50° + 28°=78°$.

1. (★) 把一个图形绕着某一点旋转____,如果它能够与____重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做____(简称____). 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于____的对称点.

答案： 180° 另一个图形 对称中心 中心 对称中心

2. (★) 中心对称的性质：中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过____,而且被____所平分. 中心对称的两个图形是____.

答案： 对称中心 对称中心 全等图形