《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

*17.(★★)如图24-24,已知$\odot O$ 是边长为 $4$ 的等边$\triangle ABC$ 的内切圆,则$\odot O$ 的面积为______.

答案： 4/3π

18.(★★)(济南)如图24-25,$AB$,$CD$ 是$\odot O$ 的两条直径,过点 $C$ 的$\odot O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $E$,连接 $AC$,$BD$.
(1)求证：$\angle ABD = \angle CAB$；
(2)若 $B$ 是 $OE$ 的中点,$AC = 12$,求$\odot O$ 的半径.

答案：

(1)
∵ AB,CD是⊙O的两条直径,
∴ OA=OC=OB=OD,
∴ ∠OAC=∠OCA,∠ODB=∠OBD.
∵ ∠AOC=∠BOD,
∴ ∠OAC=∠OCA=∠ODB=∠OBD,即∠ABD=∠CAB.
(2)如图35,连接BC.
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ CE为⊙O的切线,
∴ ∠OCE=90°.
∵ B是OE的中点,
∴ BC=OB.
∵ OB=OC,
∴ △OBC为等边三角形,
∴ ∠ABC=60°,
∴ ∠A=30°,
∴ BC=√3/3AC=4√3,
∴ OB=4√3,即⊙O的半径为4√3.

19.(★★)(天津)已知 $PA$,$PB$ 分别与$\odot O$ 相切于点 $A$,$B$,$\angle APB = 80^{\circ}$,$C$ 为$\odot O$ 上一点.
(1)如图24-26①,求$\angle ACB$ 的大小；
(2)如图24-26②,$AE$ 为$\odot O$ 的直径,$AE$ 与 $BC$ 相交于点 $D$,若 $AB = AD$,求$\angle EAC$ 的大小.

答案：

(1)如图36①,连接OA,OB,
∵ PA,PB是⊙O的切线,
∴ ∠OAP=∠OBP=90°,
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°.由圆周角定理,得∠ACB=1/2∠AOB=50°.
(2)如图36②,连接CE,
∵ AE为⊙O的直径,
∴ ∠ACE=90°.
∵ ∠ACB=50°,
∴ ∠BCE=90°-50°=40°,
∴ ∠BAE=∠BCE=40°.
∵ AB=AD,
∴ ∠ABD=∠ADB=70°,
∴ ∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°.