《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

12. (★★)若二次函数 $y = -x^{2}+2x + k$ 的部分图象如图 22.2 - 2 所示,则关于 $x$ 的一元二次方程 $-x^{2}+2x + k = 0$ 的一个根 $x_{1}= 3$,另一个根 $x_{2}= $____。

答案： -1

13. (★★)(攀枝花)如图 22.2 - 3,二次函数 $y = ax^{2}+bx+c(a＞0)$ 图象的顶点为 $D$,其图象与 $x$ 轴的交点 $A$,$B$ 的横坐标分别为 $-1$ 和 $3$,则下列结论正确的是【 】

A.$2a - b = 0$
B.$a + b + c＞0$
C.$3a - c = 0$
D.当 $a= \frac{1}{2}$ 时,$\triangle ABD$ 是等腰直角三角形

答案： D

14. (★★)图 22.2 - 4 是函数 $y = x^{2}-2x - 3$ 的图象,利用图象解答下列问题：
(1)方程 $x^{2}-2x - 3 = 0$ 的解是____；
(2)当 $x$ 满足____时,函数值大于 $0$；
(3)当 $x$ 满足____时,函数值小于 $0$。

答案：
(1)$x_{1}=-1,x_{2}=3$
(2)$x＜-1$ 或 $x＞3$
(3)$-1＜x＜3$

15. (★★★)二次函数 $y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)$ 的图象如图 22.2 - 5 所示,根据图象解答下列问题：
(1)写出方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 的两个根；
(2)写出不等式 $ax^{2}+bx+c＞0$ 的解集；
(3)写出 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的自变量 $x$ 的取值范围；
(4)若方程 $ax^{2}+bx+c = k$ 有两个不等的实数根,求 $k$ 的取值范围。

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=3$.
(2)$1＜x＜3$.
(3)$x＞2$.
(4)$k＜2$.

16. (★)(孝感)如图 22.2 - 6,抛物线 $y = ax^{2}$ 与直线 $y = bx + c$ 的两个交点坐标分别为 $A(-2,4)$,$B(1,1)$,则方程 $ax^{2}= bx + c$ 的解是____。

答案： $x_{1}=-2,x_{2}=1$

17. (★★)(潍坊)抛物线 $y = x^{2}+bx + 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$。若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx + 3 - t = 0$ ($t$ 为实数)在 $-1＜x＜4$ 的范围内有实数根,则 $t$ 的取值范围是【 】

A.$2\leqslant t＜11$
B.$t\geqslant2$
C.$6＜t＜11$
D.$2\leqslant t＜6$

答案： A 提示：
∵ $y=x^{2}+bx+3$ 的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $b=-2$,
∴ $y=x^{2}-2x+3$,
∴ 方程 $x^{2}+bx+3-t=0$ 的实数根可以看作抛物线 $y=x^{2}-2x+3$ 与直线 $y=t$ 的交点的横坐标.
∵ 方程在 $-1＜x＜4$ 的范围内有实数根,当 $x=-1$ 时,$y=6$;当 $x=4$ 时,$y=11$;函数 $y=x^{2}-2x+3$ 在 $x=1$ 时有最小值 2;
∴ $2≤t＜11$.

18. (★★★)(武汉)抛物线 $y = ax^{2}+bx + c$ 经过 $A(-3,0)$,$B(4,0)$ 两点,则关于 $x$ 的一元二次方程 $a(x - 1)^{2}+c = b - bx$ 的解是____。

答案： $x_{1}=-2,x_{2}=5$ 提示:关于x 的一元二次方程 $a(x-1)^{2}+c=b-bx$ 变形为 $a(x-1)^{2}+b(x-1)+c=0$,把抛物线 $y=ax^{2}+bx+c$ 沿 x 轴向右平移 1 个单位长度,得到 $y=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c$. 因为抛物线 $y=ax^{2}+bx+c$ 经过 $A(-3,0),B(4,0)$,所以抛物线 $y=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c$ 与x 轴的两交点坐标为 $(-2,0),(5,0)$,所以一元二次方程 $a(x-1)^{2}+b(x-1)+c=0$ 的解为 $x_{1}=-2,x_{2}=5$.