《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

9. (★)图 24 - 32 所示是一个零件的示意图,角 A,B,C 都是直角,$\overset{\frown}{MN}$是圆心角为 90°的弧,其尺寸如图所示,则$\overset{\frown}{MN}$的长是【 】

A.π


B.$\frac{3}{2}\pi$
C.2π
D.4π

答案： C

10. (★★)如图 24 - 33,AB 切⊙O 于点 B,OA = 2√3,AB = 3,弦 BC 平行于 OA,则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为【 】

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$
C.π
D.$\frac{3}{2}\pi$

答案： A

11. (★)若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为 4 m,母线长为 3 m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是【 】
$A. 6 m^2$
$B. 6π m^2$
$C. 12 m^2$
$D. 12π m^2$

答案： B

12. (★)用半径为 20 cm,圆心角为 108°的扇形纸片围成一个圆锥,则该圆锥的底面半径是______。

答案： 6 cm

13. (★)一扇形的圆心角是 150°,半径为 4,用它作为一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的表面积是______。

答案： $\frac {85}{9}π$

14. (★★)如图 24 - 34,一个圆锥的高为 3√3 cm,其侧面展开图是半圆。求：
(1)圆锥的母线长 l 与底面半径 r 之比；
(2)圆锥的侧面积。(结果保留 π)

答案：
(1)由题意,得$\frac {1}{2}\cdot 2πr\cdot l=\frac {1}{2}πl^{2},\therefore l=2r,$$\therefore l:r=2:1$.
(2)由$r^{2}+h^{2}=l^{2}$,得$r^{2}+(3\sqrt {3})^{2}=(2r)^{2},$$\therefore r=3,l=6,\therefore S_{侧}=\frac {1}{2}π×l^{2}=\frac {1}{2}π×6^{2}=18π(cm^{2}).$

15. (★★)(泰安)如图 24 - 35,∠AOB = 90°,∠B = 30°,以点 O 为圆心,OA 为半径作弧交 AB 于点 A、点 C,交 OB 于点 D,若 OA = 3,则阴影部分的面积为______。

答案： $\frac {3}{4}π$

16. (★★★)如图 24 - 36,在菱形 ABCD 中,AB = 1,∠DAB = 60°。把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30°得到菱形 AB'C'D',其中点 C 的运动路径为$\overset{\frown}{CC'}$,则图中阴影部分的面积为______。

答案： $\frac {π}{4}+\frac {3}{2}-\sqrt {3}$ 提示:连接 AC,AC'.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AB// CD,AD// BC.\because ∠DAB=60^{\circ },$$\therefore ∠ADC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ },∠DAC=∠BAC=\frac {1}{2}×60^{\circ }=30^{\circ },\therefore ∠ACB=30^{\circ }.\because $菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转$30^{\circ }$得到菱形$AB'C'D',\therefore ∠DAD'=30^{\circ },\therefore ∠DAC=∠DAD',\therefore $点$D'$在线段 AC 上.同理:点 B 在线段$AC'$上.连接 BD,交 AC 于点 O,则$AC⊥BD,AO=CO,\therefore ∠AOB=90^{\circ }$.在$Rt△AOB$中,$AB=1,∠BAC=30^{\circ },AO=\frac {\sqrt {3}}{2},\therefore AC=\sqrt {3},\therefore CD'=AC-AD'=\sqrt {3}-1$.设 BC 与$D'C'$交于点 E.在$Rt△D'CE$中,可求得$D'E=\frac {1}{2}(\sqrt {3}-1),CE=\frac {\sqrt {3}}{2}(\sqrt {3}-1),$$\therefore S_{△D'CE}=\frac {1}{2}×CE×D'E=\frac {\sqrt {3}}{8}(\sqrt {3}-1)^{2}=\frac {\sqrt {3}}{2}-\frac {3}{4}$.同理可求$S_{△C'EB}=\frac {\sqrt {3}}{2}-\frac {3}{4}.\because S_{扇形CAC'}=\frac {30π×(\sqrt {3})^{2}}{360}=\frac {π}{4},\therefore S_{阴影}=S_{扇形CAC'}-S_{△D'CE}-S_{△C'EB}=\frac {π}{4}-2(\frac {\sqrt {3}}{2}-\frac {3}{4})=\frac {π}{4}+\frac {3}{2}-\sqrt {3}.$