《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

5. (★★)如图21.3 - 2,∠B = 90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,问：经过几秒,△PBQ的面积恰好等于$8 cm^2?$

答案： 设经过$x\ s$,由题意,得$\frac{1}{2}(6-x)\cdot 2x=8$,即$x^{2}-6x+8=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=4$.当经过$2\ s$时,点$P$在离$A$点$1× 2=2(cm)$处,点$Q$在离$B$点$2× 2=4(cm)$处.当经过$4\ s$时,点$P$在离$A$点$1× 4=4(cm)$处,点$Q$在离$B$点$2× 4=8(cm)$处.所以经过$2\ s$或$4\ s$,$\triangle PBQ$的面积恰好等于$8\ cm^{2}$.

6. (★★)如图21.3 - 3,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为$4 m^2,$则AB的长度是_________ m. (可利用的围墙长度超过6 m)

答案： 1 提示:设$AB$的长度是$x\ m$,则$BC=(6-2x)\ m$,由题意,得$x(6-2x)=4$,即$x^{2}-3x+2=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=2$.当$x=1$时,$6-2x=4$,符合题意;当$x=2$时,$6-2x=2$,此时矩形的邻边相等,不符合题意,故$x=2$舍去.

7. (★★)将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为5 cm的小正方形,做成一个无盖的长方体盒子,使盒子的容积为$720 cm^3,$求原正方形铁皮的边长.

答案： 设原正方形铁皮边长为$x\ cm$,由题意,得$5(x-10)^{2}=720$,即$(x-10)^{2}=144$,解得$x_{1}=22$,$x_{2}=-2$(舍去).所以原正方形铁皮的边长为$22\ cm$.

8. (★★★)如图21.3 - 4,在△ABC中,∠B = 90°,AB = 5 cm,BC = 7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.当P,Q两点中有一点到达终点时,则同时停止运动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么出发后几秒时,△PBQ的面积等于$4 cm^2?$
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么出发后几秒时,PQ的长度等于5 cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面积能否等于$7 cm^2?$请说明理由.

答案：
(1)设$x\ s$后,$\triangle PBQ$的面积等于$4\ cm^{2}$,此时$AP=x\ cm$,$BP=(5-x)\ cm$,$BQ=2x\ cm$.由$\frac{1}{2}BP\cdot BQ=4$,得$\frac{1}{2}(5-x)\cdot 2x=4$,整理得$x^{2}-5x+4=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=4$.当$x=4$时,$2x=8＞7$,说明此时点$Q$越过点$C$,不合要求.所以$1\ s$后,$\triangle PBQ$的面积等于$4\ cm^{2}$.
(2)仿照
(1),由$BP^{2}+BQ^{2}=5^{2}$,得$(5-x)^{2}+(2x)^{2}=5^{2}$,整理得$x^{2}-2x=0$.解得$x_{1}=0$(不合题意,舍去),$x_{2}=2$.所以$2\ s$后,$PQ$的长度等于$5\ cm$.
(3)不能.理由如下:仿照
(1)得$\frac{1}{2}(5-x)\cdot 2x=7$,整理得$x^{2}-5x+7=0$,$\Delta=(-5)^{2}-4× 1× 7=-3＜0$,所以此方程无解,所以$\triangle PBQ$的面积不可能等于$7\ cm^{2}$.