《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

11. (★★) 已知直线$MN\perp PQ$,垂足为点$O$,$A_{1}和A关于MN$对称,$A_{2}和A关于PQ$对称,如图 23.2 - 11 所示,试证明$A_{1}和A_{2}关于点O$成中心对称.

答案： 连接A₁O,AO,A₂O.因为A₁和A关于MN对称,所以MN是A₁A的垂直平分线,所以A₁O=AO.同理,AO=A₂O.再证∠A₁OA₂=2×90°=180°.又因为A₁O=A₂O,且A₁,O,A₂在同一条直线上,可得A₁和A₂关于点O成中心对称.

12. (★★) 如图 23.2 - 12,四边形$ABCD与四边形EFGH$成中心对称,试画出它们的对称中心,并简要说明理由.

答案： 图略.作法:分别连接CG,BF,则它们的交点O为两四边形的对称中心.其理由是关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而CG,BF两线段不共线,所以它们的交点即为对称中心.

13. (★★) 如图 23.2 - 13,$\triangle OAB绕点O旋转180^{\circ}得到\triangle OCD$,连接$AD$,$BC$,得到四边形$ABCD$,则$AB$____(填位置关系)$CD$,与$\triangle AOD$成中心对称的三角形是____,由此可得$AD$____(填位置关系)$BC$.

答案： 平行 △COB 平行

14. (★★) 分别画出图 23.2 - 14 中图形关于点$O$对称的图形. (不写作法)

答案： 对于图①：
1. 连接$AO$并延长至$A'$，使$A'O = AO$；
2. 连接$BO$并延长至$B'$（实际题目中为$C$点对应位置，这里按对称逻辑应为新点$C'$，但原图为四边形，我们依次做出各点），由于是四边形，我们按顺序下一个点为$D$点关于$O$的对称点，连接$DO$并延长至$D'$，使$D'O = DO$，再找到$B$点关于$O$的对称点$B'$（若按四边形顶点顺序，此处应为下一个顶点，但原题顶点为$B,C$，我们理解为依次对称，则先做$B$点对称点），使$B'O = BO$，同理找到$C$点关于$O$的对称点$C'$，使$C'O = CO$；
3. 顺次连接$A'B'$，$B'C'$，$C'D'$，$D'A'$，所得到的四边形$A'B'C'D'$即为关于点$O$对称的图形。
对于图②：
1. 在原弧上取一点$A$，连接$AO$并延长至$A'$，使$A'O = AO$；
2. 用同样的方法，在原弧上再取一点$B$，做出其关于点$O$的对称点$B'$；
3. 弧上再取一点$O$（原弧端点，一般端点也要对称过去），实际上端点对称还是本身，再取另一点$C$（非端点），对称得到$C'$；
4. 按照原弧的弯曲方向，连接$A'B'$，$B'C'$...及最后连接到$O$点（因为$O$是对称中心，也是弧一个端点的对称点），所得到的图形即为关于点$O$对称的图形（实际上是一个与原弧方向相反，大小相同的弧所围成的图形的一部分，即另一个扇形的一部分，但题目只要求画出对称图形，我们画出对称的弧及连接到中心点的线段即可，或理解为对称的扇形图形）。
（由于无法直接画图，请根据实际图纸，按照上述步骤作出对称图形）。

1. (★)把一个图形绕着某一个点旋转____,如果旋转后的图形能够与____重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的____.

答案： 180° 原来的图形 对称中心

2. (★)如图 23.2 - 15,下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是【 】

答案： D