《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

27. ($★★★$)某商贸公司购进某种水果的成本为$20$元/kg,经过市场调研发现,这种水果在未来$48天的销售单价p$(元/kg)与时间$t$(天)之间的函数关系式为$p = \begin{cases} \frac{1}{4}t + 30(1\leq t\leq24,t为整数) \\ -\frac{1}{2}t + 48(25\leq t\leq48,t为整数) \end{cases} $,且其日销售量$y$(kg)与时间$t$(天)的关系如下表：
| 时间$t$(天) | $1$ | $3$ | $6$ | $10$ | $20$ | $40$ | …$$ |
| 日销售量$y$(kg) | $118$ | $114$ | $108$ | $100$ | $80$ | $40$ | …$$ |

(1)已知$y与t$之间的变化规律符合一次函数关系,试求在第$30$天的日销售量是多少.
(2)问：哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前$24$天中,公司决定每销售$1$kg水果就捐赠$n$元利润($n ＜ 9$)给某爱心工程.现发现,在前$24$天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间$t$的增大而增大,求$n$的取值范围.

答案：
(1)依题意,设$y$与$t$之间的函数关系式为$y=kt + b(k≠0)$,将$(10,100),(20,80)$代入$y=kt + b$,得$\begin{cases}100 = 10k + b\\80 = 20k + b\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -2\\b = 120\end{cases}$.所以日销售量$y(kg)$与时间$t$(天)之间的函数关系式为$y = 120 - 2t$.当$t = 30$时,$y = 120 - 60 = 60$.所以在第 30 天的日销售量为 60 千克.
(2)设日销售利润为$W$元,则$W=(p - 20)y$.①当$1≤t≤24$时,$W=(\frac{1}{4}t + 30 - 20)(120 - 2t)=-\frac{1}{2}t^{2}+10t + 1200=-\frac{1}{2}(t - 10)^{2}+1250$.当$t = 10$时,$W_{最大}=1250$.②当$25≤t≤48$时,$W=(-\frac{1}{2}t + 48 - 20)(120 - 2t)=t^{2}-116t + 3360=(t - 58)^{2}-4$.由二次函数的图象及性质知,当$t = 25$时,$W_{最大}=1085$.因为$1250＞1085$,所以在第 10 天的销售利润最大,最大利润为 1250 元.
(3)依题意,得$W=(\frac{1}{4}t + 30 - 20 - n)(120 - 2t)=-\frac{1}{2}t^{2}+2(n + 5)t + 1200 - 120n$.其对称轴为$t = 2n + 10$,要使$W$随$t$的增大而增大,由二次函数的图象及性质知,$2n + 10≥24$,解得$n≥7$.又因为$n＜9$,所以$7≤n＜9$.所以$n$的取值范围为$7≤n＜9$.

28. ($★$)(武威)将二次函数$y = x^2 - 4x + 5化成y = a(x - h)^2 + k$的形式为___.

答案： $y=(x - 2)^{2}+1$

29. ($★★$)(绍兴)若抛物线$y = x^2 + ax + b与x轴两个交点间的距离为2$,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线$x = 1$,将此抛物线向左平移$2$个单位,再向下平移$3$个单位,得到的抛物线过点【 】

A.$(-3,-6)$
B.$(-3,0)$
C.$(-3,-5)$
D.$(-3,-1)$

答案： B

30. ($★★★$)(包头)如图$22 - 11$,在平面直角坐标系中,已知抛物线$y = ax^2 + bx + 2(a\neq0)与x轴交于A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与$y轴交于点C$,连接$BC$.
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴.
(2)点$D$为抛物线对称轴上一点,连接$CD$,$BD$,若$\angle DCB = \angle CBD$,求点$D$的坐标.
(3)已知$F(1,1)$,若$E(x,y)$是抛物线上一个动点(其中$1 ＜ x ＜ 2$),连接$CE$,$CF$,$EF$,求$\triangle CEF面积的最大值及此时点E$的坐标.
(4)若点$N$为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点$M$,使得以$B$,$C$,$M$,$N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出所有满足条件的点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)将点$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=ax^{2}+bx + 2$,得$\begin{cases}a - b + 2 = 0\\9a + 3b + 2 = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{cases}$.
∴ $y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$,
∴ 对称轴为直线$x = 1$.
(2)如图8①,过点$D$作$DG⊥y$轴于$G$,作$DH⊥x$轴于$H$,设点$D(1,y)$,则$G(0,y),H(1,0)$.
∵ $C(0,2),B(3,0)$,
∴ 在$Rt△CGD$中,$CD^{2}=CG^{2}+GD^{2}=(2 - y)^{2}+1$;在$Rt△BHD$中,$BD^{2}=BH^{2}+HD^{2}=4 + y^{2}$.在$△BCD$中,
∵ $∠DCB = ∠CBD$,
∴ $CD = BD$,
∴ $CD^{2}=BD^{2}$,
∴ $(2 - y)^{2}+1 = 4 + y^{2}$,
∴ $y=\frac{1}{4}$,
∴ 点$D$的坐标为$(1,\frac{1}{4})$.
(3)如图8②,过点$E$作$EQ⊥y$轴于$Q$,过点$F$作直线$FR⊥y$轴于$R$,过点$E$作$EP⊥FR$于$P$,
∴ $∠EQR = ∠QRP = ∠RPE = 90^{\circ}$,
∴ 四边形$QRPE$是矩形.
∵ $S_{△CEF}=S_{矩形QRPE}-S_{△CQE}-S_{△CRF}-S_{△EFP}$,$E(x,y)$,$C(0,2)$,$F(1,1)$,
∴ $S_{△CEF}=EQ\cdot QR-\frac{1}{2}×EQ\cdot QC-\frac{1}{2}CR\cdot RF-\frac{1}{2}FP\cdot EP$,
∴ $S_{△CEF}=x(y - 1)-\frac{1}{2}x(y - 2)-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}(x - 1)(y - 1)$.
∵ $y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$,
∴ $S_{△CEF}=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{7}{6}x$,
∴ 当$x=\frac{7}{4}$时,$△CEF$面积的最大值为$\frac{49}{48}$,此时点$E$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{55}{24})$.
(4)存在.点$M$的坐标为$(2,2)$或$(4,-\frac{10}{3})$或$(-2,-\frac{10}{3})$. 提示:设$N(1,n),M(x,y)$.①若$CB$为对角线时,则$CB$与$MN$互相平分,即$CB$的中点也是$MN$的中点,可得$\frac{3}{2}=\frac{1 + x}{2}$,
∴ $x = 2$,
∴ 点$M$的坐标为$(2,2)$.②若$CM$为对角线时,则$CM$与$BN$互相平分,即$CM$的中点也是$BN$的中点,可得$\frac{1 + 3}{2}=\frac{x}{2}$,
∴ $x = 4$,
∴ 点$M$的坐标为$(4,-\frac{10}{3})$.③若$CN$为对角线时,则$CN$与$BM$互相平分,即$CN$的中点也是$BM$的中点,可得$\frac{1}{2}=\frac{3 + x}{2}$,
∴ $x = -2$,
∴ 点$M$的坐标为$(-2,-\frac{10}{3})$.综上所述,点$M$的坐标为$(2,2)$或$(4,-\frac{10}{3})$或$(-2,-\frac{10}{3})$.