《2025年同步练习册大象出版社九年级数学上册人教版》

9. ($★$)下列现象属于旋转的是【】

A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.空中飞舞的雪花
C.拧开自来水龙头的过程
D.飞机起飞后冲向空中的过程

答案： C

10. ($★$)如图$23 - 6$,正方形$OABC绕着点O逆时针旋转40^{\circ}得到正方形ODEF$,则$\angle DOC$的度数是【】

A.$25^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$


D.$60^{\circ}$

答案： C

11. ($★★$)如图$23 - 7$,$P是正方形ABCD$内一点,将$\triangle ABP绕点B顺时针方向旋转后与\triangle CBP'$重合,若$PB = 3$,则$\angle BP'P$的度数为,$PP' = $。

答案： 45° 3√2

12. ($★★★$)通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。
原题：如图$23 - 8$①,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$,连接$EF$,试猜想$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系。
(1)思路梳理：把$\triangle ABE绕点A逆时针旋转90^{\circ}至\triangle ADG$,可使$AB与AD$重合,由$\angle ADG = \angle B = 90^{\circ}$,得$\angle FDG = 180^{\circ}$,即点$F$,$D$,$G$共线,易证$\triangle AFG\cong$,故$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系为。
(2)类比引申：如图$23 - 8$②,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边CB$,$DC$的延长线上,$\angle EAF = 45^{\circ}$。连接$EF$,试猜想$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系,并给出证明。

答案：
(1)如图20所示,△AFE BE + DF = EF
(2)DF=EF+BE. 证明如下:如图20所示,
∵ AB = AD,∠BAD = 90°,
∴ 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵ ∠BAE=∠DAG,∠BAD=90°,
∴ ∠EAG = 90°.
∵ ∠BCD = 90°,
∴ ∠AEC + ∠AGC = 180°.
∵ ∠AEC=∠AGD,
∴ ∠AGC+∠AGD=180°,
∴ 点C,D,G三点共线,
∴ BE = DG,AE = AG,∠EAB = ∠GAD. 又
∵ ∠EAF=45°,
∴ ∠GAF=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°,
∴ ∠EAF = ∠GAF,
∴ △EAF ≌ △GAF,
∴ EF = FG.
∵ DF=FG+DG,
∴ DF=EF+BE.

13. ($★★★$)如图$23 - 9$①,将两个完全相同的三角形纸片$ABC和DEC$重合放置,其中$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = \angle E = 30^{\circ}$。

(1)操作发现
如图$23 - 9$②,固定$\triangle ABC$,使$\triangle DEC绕点C$旋转。当点$D恰好落在AB$边上时,填空：
①线段$DE与AC$的位置关系是；
②设$\triangle BDC的面积为S_1$,$\triangle AEC的面积为S_2$,则$S_1与S_2$的数量关系是。
(2)猜想论证
当$\triangle DEC绕点C旋转到图23 - 9$③所示的位置时,小明猜想(1)中$S_1与S_2$的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了$\triangle BDC和\triangle AEC中BC$,$CE边上的高DM$,$AN$,请你证明小明的猜想。

答案：
(1)①DE//AC ②S₁=S₂
(2)由分别作△BDC的高DM、△AEC的高AN,得∠ANC=∠CMD=90°.
∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°,
∴ ∠ACN+∠BCN = 90°,∠DCB + ∠BCN = 90°,
∴ ∠ACN = ∠DCB. 又
∵ AC=DC,
∴ △ANC ≌ △DMC(AAS),
∴ AN = DM. 又
∵ CE = BC,△BDC与△AEC等底等高,
∴ △BDC和△AEC面积相等,即S₁=S₂的数量关系仍然成立.