《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

5. 如图24.1.4 - 5，在四边形$ABCD$中，$BC = CD$，$\angle C = 2\angle BAD$，$O$是四边形$ABCD$内一点，且$OA = OB = OD$，求证：
$\angle BOD=\angle C$；
四边形$OBCD$是菱形。

[img]
悟：$OA = OB = OD$是建立隐圆的依据，利用圆的性质能更快得到一些角之间的关系。

答案： （1）
∵OA=OB=OD，
∴点A、B、D在以O为圆心的圆上。
∵∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
∴由圆周角定理得∠BOD=2∠BAD。
∵∠C=2∠BAD，
∴∠BOD=∠C。
（2）
∵OB=OD，BC=CD，
∴∠OBD=∠ODB，∠CBD=∠CDB。
∴∠OBC=∠OBD+∠CBD=∠ODB+∠CDB=∠ODC。
∵∠BOD=∠BCD（已证），四边形OBCD内角和为360°，
∴∠OBC+∠BCD+∠ODC+∠BOD=2∠OBC+2∠BCD=360°，
∴∠OBC+∠BCD=180°，
∴OB//CD。
同理可证OD//BC，
∴四边形OBCD是平行四边形。
∵平行四边形对边相等，
∴OB=CD，OD=BC。
∵OB=OD，
∴CD=BC。
∵BC=CD，
∴OB=BC=CD=OD，
∴四边形OBCD是菱形。
结论： ∠BOD=∠C；四边形OBCD是菱形。

6. 如图24.1.4 - 6，点$A$，$B$，$C$，$D$都在$\odot O$上，$AC$，$BD$相交于点$E$，则$\angle ABD$等于(A)。
[img]

A.$\angle ACD$
B.$\angle ADB$
C.$\angle AED$
D.$\angle ACB$

答案： A

7. 如图24.1.4 - 7，$AB$为$\odot O$的直径，$CD$是弦，且$AB\perp CD$于点$E$，连接$AC$，$OC$，$BC$。
求证：$\angle ACO=\angle BCD$；
若$EB = 2\mathrm{cm}$，$CD = 8\mathrm{cm}$，求$\odot O$的直径。

[img]

答案： （1）略 （2）10 cm

8. 钟面上$1\sim12$这十二个数字把圆周十二等分，以其中任意四个等分点为顶点作四边形，其中为矩形的有()。

A.$10$个
B.$14$个
C.$15$个
D.$30$个

答案： C