《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$。
（1）求该方程的根；
（2）当 $m$ 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

答案： （1）$x_{1}=\frac{m+1}{m-1}$，$x_{2}=1$ （2）$m=2$或$m=3$

14. 若 $a$，$b$，$c$ 为 $\triangle ABC$ 三边的长，判断关于 $x$ 的一元二次方程 $cx^{2}-(a + b)x+\frac{c}{4}=0$ 的根的情况，并说明理由。

答案： 方程有两个不相等的实数根

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c)x^{2}+2bx + a - c = 0$，其中 $a$，$b$，$c$ 为 $\triangle ABC$ 三边的长。
（1）如果 $x=-1$ 是方程的根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由；
（3）如果 $\triangle ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

答案： （1）等腰三角形，理由略 （2）直角三角形，理由略 （3）$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$