《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

7. 如图 24.1.2 - 3，在半径为 $2$ 的扇形 $AOB$ 中，$\angle AOB = 90°$，$C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 上的一个动点（不与点 $A$，$B$ 重合），$OD\perp BC$，$OE\perp AC$，垂足分别为 $D$，$E$。
（1）当 $BC = 1$ 时，求线段 $OD$ 的长；
（2）在 $\triangle DOE$ 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由。
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答案： （1）$\frac{\sqrt{15}}{2}$ （2）存在，$DE=\sqrt{2}$

8. 如图 24.1.2 - 4，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在第一象限，$\odot P$ 与 $x$ 轴交于 $O$，$A$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(6, 0)$，$\odot P$ 的半径为 $\sqrt{13}$，则点 $P$ 的坐标为(A)。


A.$(3, 2)$
B.$(2, 3)$
C.$(3, 1)$
D.$(2, 2)$

答案： A

9. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图 24.1.2 - 5 所示，已知锯口深为 $1$ 寸，锯道 $AB = 1$ 尺（$1$ 尺 $= 10$ 寸），则该圆材的直径为 \_\_\_\_26寸。
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答案： 26

10. 图 24.1.2 - 6 是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 $O$，直径 $AB$ 为河底线，弦 $CD$ 为水位线，$CD// AB$，且 $AB = 26$ m，$OE\perp CD$ 于点 $E$，水位正常时测得 $OE:CD = 5:24$。
（1）求 $CD$ 的长；
（2）现汛期来临，水面正以每小时 $4$ m 的速度上升，请问：经过多长时间桥洞刚好被灌满？
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答案： （1）24 m （2）2 h