《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

11. 如图23.1.1-11，在矩形$ABCD$中，点$P$在$BC$边上，连接$PA$，将$PA$绕点$P$顺时针旋转$90°$得到$PA'$，连接$CA'$.若$AD = 9$，$AB = 5$，$CA' = 2\sqrt{2}$，则$BP =$2.

答案： 2

12. 如图23.1.1-12，$\triangle ABC$为等边三角形，$P$是等边三角形$ABC$内一点，$\triangle ABP$经过逆时针旋转后到达$\triangle ACQ$的位置.
(1) 图中的旋转中心是点A，旋转了60度，点$B$的对应点是点C，$BP$的对应边是CQ，$\angle ABP$的对应角是$\angle$ACQ；
(2) $\triangle APQ$是等边三角形；
(3) 若$PA = 3$，$PB = 5$，$PC = 4$，则$\angle APC =$150度.
　　

答案： （1）A 60 C CQ ACQ （2）等边 （3）150

13. 如图23.3.1-13，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$为等腰三角形，$OA = AB = 5$，点$B$到$x$轴的距离为$4$，若将$\triangle OAB$绕点$O$逆时针旋转$90°$，得到$\triangle OA'B'$，则点$B'$的坐标为（-4，8）.

答案： （-4，8）

14. 如图23.1.1-14，$F$是正方形$ABCD$中$BC$边上一点，延长$AB$到点$E$，使得$BE = BF$.试用旋转的性质说明：$AF = CE$且$AF \perp CE$.

答案： 将△ABF绕点B顺时针旋转90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°。
∵E在AB延长线上，
∴∠CBE=90°=∠ABF。
又
∵BE=BF，
∴旋转后点A与点C重合，点F与点E重合，即△ABF旋转后与△CBE重合。
由旋转性质得：AF=CE（对应边相等），AF与CE的夹角等于旋转角90°，故AF⊥CE。
综上，AF=CE且AF⊥CE。