《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

7. 对于实数 $a$，$b$ 定义运算“$\otimes$”为 $a\otimes b = a^{2}-2ab$，例如：$3\otimes2 = 3^{2}-2×3×2=-3$，则关于 $x$ 的方程 $x\otimes(k + 1)=-2k$ 的根的情况，下列说法正确的是(A)。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+ax + a - 2 = 0$。
（1）若该方程的一个根为 $1$，求 $a$ 的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论 $a$ 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

答案： （1）$a=\frac{1}{2}$，另一根为$-\frac{3}{2}$ （2）略

9. 试说明：不论 $m$ 取何值，关于 $x$ 的方程 $(x - 2)\cdot(x - 3)=m^{2}$ 总有两个不相等的实数根。

答案： 将原方程展开得：$x^{2}-5x+6 = m^{2}$，
移项可得：$x^{2}-5x + 6 - m^{2}=0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，
在方程$x^{2}-5x + 6 - m^{2}=0$中，$a = 1$，$b=-5$，$c = 6 - m^{2}$，
则$\Delta=(-5)^{2}-4×1×(6 - m^{2})$
$=25-24 + 4m^{2}$
$=1 + 4m^{2}$
因为$m^{2}\geqslant0$，
所以$4m^{2}\geqslant0$，
则$1 + 4m^{2}\gt0$，
即$\Delta\gt0$。
所以，不论$m$取何值，关于$x$的方程$(x - 2)\cdot(x - 3)=m^{2}$总有两个不相等的实数根。

10. 能说明命题“关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + m = 0$ 一定有实数根”为假命题的反例是(D)。

A.$m=-1$
B.$m = 0$
C.$m = 4$
D.$m = 5$

答案： D

11. 若关于 $x$ 的方程 $(a - 5)x^{2}-4x - 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 满足(A)。

A.$a\geqslant1$
B.$a＞1$ 且 $a\neq5$
C.$a\geqslant1$ 且 $a\neq5$
D.$a\neq5$

答案： A

12. 在 $x^{2}+($4x或-4x$) + 4 = 0$ 的括号中添加一个关于 $x$ 的一次项，使方程有两个相等的实数根，应填4x或-4x。

答案： 4x或-4x

2. 圆形披萨切 $1$ 刀，最多能分成 $2$ 块；切 $2$ 刀，最多能分成 $4$ 块；切 $3$ 刀，最多能分成 $7$ 块……若切 $n$ 刀时，最多能分成 $29$ 块，服务员说：“$n = 7$！”他说的对吗？

答案： 对。