《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

6. 用配方法解一元二次方程：
(1) $4x^{2}+4x - 1 = 0$；
(2) $2x^{2}-7x + 3 = 0$；
(3) $3x^{2}+4 = 6x$。

答案： 6.（1）$x_{1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ （2）$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$ （3）方程没有实数根

7. 接下来是小华同学利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务。
解：$x^{2}+4x - 5 = 0$。
移项，得 $x^{2}+4x = 5$。 ……第一步
配方，得 $x^{2}+4x + 16 = 5 + 16$，即 $(x + 4)^{2}=21$。 ……第二步
由此，可得 $x + 4=\pm\sqrt{21}$。 ……第三步
$\therefore x_{1}=\sqrt{21}-4$，$x_{2}=-\sqrt{21}-4$。 ……第四步
(1) 上述小华的解法中，第一步运算的依据是 等式的性质，其中“配方法”所依据的数学公式是 完全平方公式(填“完全平方公式”或“平方差公式”)；
(2) 小华利用配方法解题的过程中，从第 二步开始出现错误，请写出正确的解题过程。

答案： 7.（1）等式的性质 完全平方公式 （2）从第二步开始出现错误，正确解题过程略

8. 配方：$x^{2}-mx + ($$\frac{m^{2}}{4}$$)=(x-$$\frac{m}{2}$$)^{2}$。

答案： 8.$\frac{m^{2}}{4}$ $\frac{m}{2}$

9. 解关于 $x$ 的方程：
(1) $x^{2}+2x - n^{2}=0$；
(2) $x^{2}-2ax = b^{2}-a^{2}$（$a$，$b$ 为常数）。

答案： 9.（1）$x_{1}=\sqrt{n^{2}+1}-1$，$x_{2}=-\sqrt{n^{2}+1}-1$ （2）$x_{1}=b+a$，$x_{2}=a-b$

1. 解关于 $x$ 的方程：$ax^{2}+bx + c = 0$。

答案： 当$a = 0$时：
若$b\neq0$，方程变为$bx + c = 0$，解得$x =-\frac{c}{b}$。
若$b = 0$，
当$c = 0$时，方程变为$0 = 0$，$x$为任意实数；
当$c\neq0$时，方程无解。
当$a\neq0$时：
方程$ax^{2}+bx + c = 0$，两边同时除以$a$得$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$。
移项得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。
配方得$x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$，即$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
当$b^{2}-4ac\gt0$时，$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，解得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
当$b^{2}-4ac = 0$时，$x+\frac{b}{2a}=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
当$b^{2}-4ac\lt0$时，方程无实数根。
综上，当$a = 0$，$b\neq0$时，$x =-\frac{c}{b}$；当$a = 0$，$b = 0$，$c = 0$时，$x$为任意实数；当$a = 0$，$b = 0$，$c\neq0$时，方程无解；当$a\neq0$，$b^{2}-4ac\gt0$时，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；当$a\neq0$，$b^{2}-4ac = 0$时，$x=-\frac{b}{2a}$；当$a\neq0$，$b^{2}-4ac\lt0$时，方程无实数根。