《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

9. 如图 22.3.1 - 3，某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为 $ 30 $ cm 的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒。

(1) 若无盖纸盒的底面积为 $ 484 $ cm²，则剪掉的小正方形的边长为多少？
(2) 问：折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由。
[img]

答案： （1）4 cm （2）无盖纸盒的侧面积有最大值，当剪掉的小正方形的边长为$\dfrac{15}{2}\ cm$时，最大值为450 cm²

10. 某工厂生产并销售 $ A $， $ B $ 两种型号车床共 $ 14 $ 台，生产并销售 $ 1 $ 台 $ A $ 型车床可以获利 $ 10 $ 万元。若生产并销售不超过 $ 4 $ 台 $ B $ 型车床，则每台 $ B $ 型车床可以获利 $ 17 $ 万元；若超出 $ 4 $ 台 $ B $ 型车床，则每超出 $ 1 $ 台，每台 $ B $ 型车床获利将平均减少 $ 1 $ 万元。设生产并销售 $ B $ 型车床 $ x $ 台。
(1) 当 $ x ＞ 4 $ 时，完成以下两个问题：
① 请补全下面的表格：

② 若生产并销售 $ B $ 型车床比生产并销售 $ A $ 型车床获得的利润多 $ 70 $ 万元，问：生产并销售 $ B $ 型车床多少台？
(2) 当 $ 0 ＜ x \leq 14 $ 时，设生产并销售 $ A $， $ B $ 两种型号车床获得的总利润为 $ W $ 万元，问：如何分配生产并销售 $ A $， $ B $ 两种车床的数量，可使获得的总利润 $ W $ 最大？最大总利润是多少？

答案： （1）①$14-x$ $21-x$ ②10台 （2）产销A型9台、B型5台，或A型8台、B型6台，可获最大总利润170万元