《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

7. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 1 $ 先绕原点旋转 $ 180^{\circ} $，再向下平移 $ 5 $ 个单位长度，所得到的新抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

答案： （1，-3）

8. 如图 23.2.3 - 2，直线 $ y = 2x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $，$ B $ 两点，将 $ \triangle AOB $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle A_{1}OB_{1} $。

(1) 在图中画出 $ \triangle A_{1}OB_{1} $；
(2) 设过点 $ A $，$ A_{1} $，$ B_{1} $ 的函数解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c $，求这个函数解析式。
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答案： （1）略 （2）$ y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1 $

9. 下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整。

(1) 三角形 $ G $ 在平面直角坐标系中的位置如图①所示，$ G $ 关于 $ y $ 轴的对称图形为 $ G_{1} $，关于 $ x $ 轴的对称图形为 $ G_{2} $，则将图形 $ G_{1} $ 绕点O顺时针旋转180度，可以得到图形 $ G_{2} $；
(2) 在图②中分别画出 $ G $ 关于 $ y $ 轴和直线 $ y = x + 1 $ 的对称图形 $ G_{1} $，$ G_{2} $，将图形 $ G_{1} $ 绕点（0，1）(用坐标表示)顺时针旋转90度，可以得到图形 $ G_{2} $；
(3) 综上，如图③，直线 $ l_{1} : y = -2x + 2 $ 和 $ l_{2} : y = x $ 所夹锐角为 $ \alpha $，如果 $ G $ 关于直线 $ l_{1} $ 的对称图形为 $ G_{1} $，关于直线 $ l_{2} $ 的对称图形为 $ G_{2} $，那么将图形 $ G_{1} $ 绕点$ \left( \frac{2}{3},\frac{2}{3} \right) $(用坐标表示)顺时针旋转$ 2\alpha $度(用 $ \alpha $ 表示)，可以得到图形 $ G_{2} $。
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答案： （1）O 180 （2）图略 （0，1） 90 （3）$ \left( \frac{2}{3},\frac{2}{3} \right) $ $ 2\alpha $